MATEMÁTICAS II: MODULO 4. Sistemas de ecuaciones lineales y matrices

Objetivo Particular del Periodo:

El alumno entenderá los conceptos elementales del álgebra lineal y los aplicará en problemas del ámbito económico y de gestión de negocios.

4.1 Sistemas de ecuaciones lineales.

Sistemas de ecuaciones diferenciales lineales Los problemas de la vida real pueden representarse de mejor manera con la ayuda de múltiples variables. Por ejemplo, piensa en el conteo de la población representado con la ayuda de una sola variable. Pero, esta depende del conteo de la población de depredadores así como también de las condiciones climáticas y la disponibilidad de alimentos. Todas estas condiciones en sí mismas forman una ecuación diferente definida en una variable separada. Por lo tanto, para estudiar las relaciones complejas, requerimos de varias ecuaciones diferentes para definir diferentes variables. Tal sistema es el sistema de ecuaciones diferenciales. Un sistema de ecuaciones diferenciales lineales se puede denotar como.

Aquí xi (t) es una variable en términos de tiempo y el valor de i = 1, 2, 3, …, n. También A es una matriz que contiene todos los términos constantes, como [ai,j].

Dado que los coeficientes de la matriz constante A no están definidos explícitamente en términos de tiempo, por lo tanto, un sistema de ecuaciones diferenciales lineales es llamadoa veces autónomo. La notación convencional general para el sistema de ecuaciones diferenciales lineales es,

dx/ dt = f(t, x, y)

dy/ dt = g(t, x, y)

El sistema anterior de ecuaciones diferenciales tendrá numerosas funciones para satisfacerla. Mediante la modificación de la variable tiempo obtendremos un conjunto de puntos que se encuentran en el plano de dos dimensiones x-y, los cuales se denominan trayectoria. La velocidad con respecto a esta trayectoria, en algún tiempo t es,

= (dx/ dt, dy/ dt)
Un ejemplo de un sistema de ecuaciones diferenciales lineales es el siguiente,

dx1/ dt = −4×1 + 2×2

dx2/ dt = 0×1 + −2×2

Con el fin de determinar el conjunto completo de fórmulas para la variable dependiente de tiempo xi(t) para todos los valores de i, es necesario obtener primero los vectores propios y valores propios de la matriz constante A. En el caso que la matriz constante A posea un conjunto de valores propios repetidos para sus componentes, sería necesario un vector propio generalizado.

Este es t, toma en cuenta que los vectores propios y valores propios de la matriz constante puede ser un subconjunto de los números reales o también un subconjunto de los números complejos.

La representación de la matriz del problema anterior es la siguiente, dx/ dt = A * x

En este caso, A es la matriz constante que puede ser representada como.

Ficha bibliográfica:
Lauro Soto. (2000). Sistemas De Ecuaciones Diferenciales Lineales. 29 de Nov. 2015, de mi tecnologico Sitio web: http://mitecnologico.com/sistemas/Main/SistemasDeEcuacionesDiferencialesLineales
http://mitecnologico.com/sistemas/Main/SistemasDeEcuacionesDiferencialesLineales

. Ficha bibliográfica:
utilidadTV. (2012). Sistemas de ecuaciones lineales - Resolver operaciones. 29 Nov. 2015, de utilidadTV Sitio web: https://www.youtube.com/watch?v=SOIvdmJadec

4.1.1 Definición

En matemáticas y álgebra lineal, un sistema de ecuaciones lineales, también conocido como sistema lineal de ecuaciones o simplemente sistema lineal, es un conjunto de ecuaciones lineales (es decir, un sistema de ecuaciones en donde cada ecuación es de primer grado), definidas sobre un cuerpo o un anillo conmutativo. Un ejemplo de sistema lineal de ecuaciones sería el siguiente 5×+7=2x+16 5x-2x=16-7 3x=9 X=9/3 X=3

El problema consiste en encontr los valores desconocidos de las variables x1, x2 y x3 que satisfacen las tres ecuaciones.

El problema de los sistemas lineales de ecuaciones es uno de los más antiguos de la matemática y tiene una infinidad de aplicaciones, como en procesamiento digital de señales, análisis estructural, estimación, predicción y más generalmente en programación lineal así como en la aproximación de problemas no lineales de análisis numérico.

https://es.wikipedia.org/wiki/Sistema_de_ecuaciones_lineales

4.1.2 Sistemas de ecuaciones lineales: consistentes, inconsistentes, y su representación paramétrica del conjunto solución.

Ficha bibliográfica:
ARYA, J. C. (2009). Matemáticas aplicadas a la administración. México: Pearson Educacíon.

4.1.3 Métodos para resolución de sistemas de ecuaciones lineales: método gráfico, igualación, sustitución, eliminación (sumas y restas).

Método de eliminación por suma o resta

Los siguientes pasos nos facilitan la aplicación del método:
a) Se multiplican los miembros de una o de las dos ecuaciones por una cantidad constante
apropiada para obtener ecuaciones equivalentes que tengan igual coeficiente para una de las
incógnitas.
b) Por suma o resta se elimina una de las incógnitas.
e) Se resuelve la ecuación lineal resultante.
f) Se sustituye el valor determinado en cualquiera de las ecuaciones originales para,
encontrar el valor de la otra incógnita.

Si las ecuaciones del sistema tienen alguna de las incógnitas de igual coeficientes el paso
primero se omite. EJEMPLO:

1. Resolver el sistema

(1) 4x + 6y = -3
(2) 5x + 7y = -2

Multiplicar los miembros de la ecuación (1) por 5 y los de la ecuación (2) por -4; resultando que los coeficientes de "x" se igualan y son de signo contrario.

5(4x + 6y = -3) 20x + 30y = - 15
-4(5x + 7y = -2) -20x - 28y = 8

Sumando algebraicamente ambas ecuaciones, resulta:

20x + 30y = - 15
- 20x - 28y = 8
0 2y = - 7

Resolviendo la ecuación, tenemos: y = - 7/2

Sustituyendo el valor determinado en cualquiera de las ecuaciones originales, se obtiene:

(1) 4x + 6(-7/2) = - 3
4x - 21 = - 3
4x = - 3 + 21
x = 18 / 4
x = 9/2

(2) 5(9/2) + 7(-7/2) = - 2
45/2 - 49/2 = -
-4/2 = -2
-2 = -2
Su comprobación es:

4(9/2) + 6(-7/2) = - 3
18-21 = -3
-3 = -3

Por lo tanto los valores que satisfacen al sistema son:
x = 9/2 y y = -7/2

https://sites.google.com/site/algebrasistemas/definicion

Ficha bibliografica:
ARYA, J. C. (2009). Matemáticas aplicadas a la administración. México: Pearson Educacíon

Ficha bibliográfica:
ClasesDeMatematicas.org. (2012). Método de suma y resta (método de reducción). 29. Nov 2015, de ClasesDeMatematicas.org Sitio web: https://www.youtube.com/watch?v=Fa7mpIpRVE4

4.1.4 Sistemas de ecuaciones equivalentes.

Se dice que dos sistemas de ecuaciones lineales son equivalentes cuando tienen las mismas soluciones, es decir, toda solución del primero lo es también del segundo y, recíprocamente, cada solución del segundo es también solución del primero.

Conviene destacar que dos sistemas de ecuaciones equivalentes no tienen que tener el mismo número de ecuaciones, aunque si es necesario que tengan el mismo número de incógnitas.

Criterio 1: Si se multiplican o dividen los dos miembros de una ecuación de un sistema por un número real distinto de cero, se obtiene otro sistema equivalente al inicial.

Ejemplo: Los siguientes sistemas son equivalentes, puesto que para pasar del primero (azul) al segundo (rojo), multiplicamos la primera ecuación por 3, la segunda ecuación por 2 y la tercera por -1.

Criterio 2: Si a una ecuación de un sistema se le suma o resta otra ecuación del mismo, se obtiene otro sistema equivalente al inicial.

Ejemplo: Los siguientes sistemas son equivalentes, puesto que para pasar del primero (azul) al segundo (rojo), a la segunda ecuación le restamos la primera.

Criterio 3 (fusión de los anteriores): Si a una ecuación de un sistema se le suma o resta otra ecuación del mismo, multiplicada por un número real distinto de cero, se obtiene otro sistema equivalente al dado.

Ejemplo: Los siguientes sistemas son equivalentes, puesto que para pasar del primero (azul) al segundo (rojo), a la segunda ecuación le restamos la primera multiplicada por 3 y a la tercera ecuación le restamos la primera multiplicada por 2.

Criterio 4: Si en un sistema de ecuaciones lineales una ecuación es proporcional a otra o es combinación lineal de otras, se puede suprimir y el sistema obtenido es equivalente al inicial.

Por lo tanto, antes de discutir o resolver un sistema de ecuaciones lineales, es conveniente suprimir las ecuaciones superfluas que se puedan identificar fácilmente, como, por ejemplo:

Las ecuaciones proporcionales
Las ecuaciones nulas
Las ecuaciones que sean combinación lineal de otras.

Ejemplo: Los siguientes sistemas son equivalentes pues se suprimió la tercera ecuación, que era proporcional a la primera (la tercera ecuación es igual a la primera ecuación multiplicada por 3).

Ejemplo: Los siguientes sistemas son equivalentes pues se suprimió la segunda ecuación, ya que todos los coeficientes y el término independiente de la misma son nulos.

Ejemplo: Los siguientes sistemas son equivalentes pues se suprimió la cuarta ecuación, que era la suma de las ecuaciones primera y segunda.

Es obvio, además, que si en un sistema de ecuaciones lineales cambiamos el orden de las ecuaciones, el sistema obtenido es igual al anterior. El sistema tampoco cambia si en todas las ecuaciones del mismo, permutamos el orden de las incógnitas.

Ejemplo: Los siguientes sistemas son iguales, pues sólo permutó el orden de la ecuaciones primera y tercera.

Ejemplo: Los siguientes sistemas son iguales, pues sólo permutó, en todas las ecuaciones, el orden de las incógnitas x e y.

http://recursostic.educacion.es/descartes/web/materiales_didacticos/sistemas_de_ecuaciones_lineales_2bcnt/equivalencia_de_sistemas_de_ecuaciones_lineales.htm

Ficha bibliográfica:
Alfredo Pena Iglesias. (2009). SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES: CRITERIOS DE EQUIVALENCIA. 29. Nov 2015, de Ministerio de Educación, Cultura y Deporte Sitio web: http://recursostic.educacion.es/descartes/web/materiales_didacticos/sistemas_de_ecuaciones_lineales_2bcnt/equivalencia_de_sistemas_de_ecuaciones_lineales.htm

Ficha bibliográfica:

Educatina . (3013). Sistemas de ecuaciones equivalentes 1 - Álgebra - Educatina. 29 Nov 2015, de Educatina Sitio web: https://www.youtube.com/watch?v=kiHcKWupr6Y

4.1.5 Eliminación de Gauss y Gauss-Jordan.

En matemáticas, la eliminación de Gauss-Jordan, llamada así debido a Carl Friedrich Gauss y Wilhelm Jordan, es un algoritmo del álgebra lineal para determinar las soluciones de un sistema de ecuaciones lineales, encontrar matrices e inversas.

Un sistema de ecuaciones se resuelve por el método de Gauss cuando se obtienen sus soluciones mediante la reducción del sistema dado a otro equivalente en el que cada ecuación tiene una incógnita menos que la anterior. El método de Gauss transforma la matriz de coeficientes en una matriz triangular superior.

El método de Gauss-Jordan continúa el proceso de transformación hasta obtener una matriz diagonal.

http://www.utel.edu.mx/blog/infografias-utel/metodo-de-eliminacion-de-gauss-jordan/

Ficha bibliográfica:

Jennifer Gines. (2013). Método de eliminación de Gauss-Jordan. 29 Nov 2015, de utel Sitio web: http://www.utel.edu.mx/blog/infografias-utel/metodo-de-eliminacion-de-gauss-jordan/

Ficha bibliográfica :

AsesoresUTEL. (2013). Método de eliminación de Gauss Jordan. 29 Nov 2015, de AsesoresUTEL Sitio web: https://www.youtube.com/watch?v=ERUO-090v88

4.1.5.1 Definición de matriz.

El objeto con que se representan las conexiones en la anterior página es una matriz. En general, una matriz es un conjunto ordenado en una estructura de filas y columnas. Los elementos de este conjunto pueden ser objetos matemáticos de muy variados tipos, aunque de forma particular, trabajaremos exclusivamente con matrices formadas por números reales.
Normalmente las matrices son designadas por letras mayúsculas.

Los elementos de una matriz se identifican por la fila y la columna que ocupan. Así, designaremos por a32 el elemento que está situado en la tercera fila y segunda columna de la matriz A.

El número de filas y columnas que tiene una matriz se llama dimensión de la matriz.

Dos matrices son iguales si son de igual dimensión y coincide el valor de los elementos que ocupan la misma posición en ambas.

http://recursostic.educacion.es/descartes/web/materiales_didacticos/Calculo_matricial_d3/defmat.htm

Ficha bibliográfica:
Pepe Sacau Fontenla. (2004). DEFINICIÓN DE MATRIZ. 29 Nov. 2015, de Ministerio de Educación, Cultura y Deporte Sitio web: http://recursostic.educacion.es/descartes/web/materiales_didacticos/Calculo_matricial_d3/defmat.htm

Ficha bibliográfica:
ISIV. (2010). 12 - Matrices: Definición y Clasificación - Matemática I - Instituto ISIV. 29 Nov. 2015, de Instituto ISIV Sitio web: https://www.youtube.com/watch?v=XfFB4afQgGU

4.1.5.2 Expresión matricial de un sistema de ecuaciones lineales.

Dado un sistema de ecuaciones
$\left\{ \begin{array}{lll} a_{11}x + a_{12}y + a_{13}z = b_1 \\ a_{21}x + a_{22}y + a_{23}z = b_2 \\ a_{31}x + a_{32}y + a_{33}z = b_3 \end{array} \right.$

Se puede expresar de forma matricial de la siguiente manera:

$\left( \begin{array}{ccc} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{array} \right ) \cdot \left( \begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array} \right ) = \left( \begin{array}{c} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{array} \right )$

La expresión anterior, de forma abreviada $A \cdot X = B$ , se llama expresión matricial del sistema. Las matrices se conocen como:

matriz de los coeficientes

matriz de las incógnitas

matriz de los términos independientes

Matriz ampliada

Se llama matriz ampliada (se representa por

) a la matriz de los coeficientes ampliada con la columna de los términos independientes.

$A^* = \left( \begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} & a_{13} & b_1\\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & b_2\\ a_{31} & a_{32} & a_{33} & b_3 \end{array} \right )$

Es frecuente expresar la matriz de los coeficientes (

) y la matriz ampliada (

) en una única expresión:

$A|A^* = \left( \begin{array}{ccc} a_{11} & a_{12} & a_{13}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{array} \right. \left | \begin{array}{c} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{array} \right )$

http://matematicasies.com/Expresion-matricial-de-un-sistema-lineal

Ficha bibliográfica :

Matemáticas IES . (2006). Expresión matricial de un sistema lineal. 29 Nov 2015, de matematicasies Sitio web: http://matematicasies.com/Expresion-matricial-de-un-sistema-lineal

4.1.5.3 Operaciones elementales sobre renglones.

Operación de renglón
Ejemplo
1. Intercambiar dos renglones

Escribimos RiRj para significar "Intercambie Renglón i y Renglón j.

	1	-2	5
	3	0	9

R₁

R₂

	3	0	9
	1	-2	5

2. Multiplicar un renglón por un número a distinto de cero

Escribimos aRi a lo lado del io renglón para significar "Multiplique Renglón i por a."

Para multiplicar Renglón 2 por 5, Escribimos la instrucción 5R2 a lo lado de Renglón 2.

	1	-2	5
	3	0	9		5R₂

	1	-2	5
	15	0	45

3. Reemplazar un renglón por una combinación con un otro renglón

Escribimos aRi ± bRj a lo lado del io renglón para significar "Reemplace Renglón i por a veces Renglón i más or menos b veces Renglón j"

Escribimos la instrucción 2R1-3R2 a lo lado de Renglón 1 para significar:" Reemplace Renglón 1 por dos veces Renglón 1 menos tres veces Renglón 2."

Es decir:

"Dos veces el renglón superior menos tres veces el renglón inferior."

	1	-2	5		2R₁-3R₂
	3	0	9

	-7	-4	-17
	3	0	9

http://www.zweigmedia.com/MundoReal/tutorialsf1/framesGJA.html

Ficha bibliográfica:
Stefan Waner. (2009). Uso de matrices para solucionar sistemas lineales. 29 Nov. 2015, de zweigmedia Sitio web: http://www.zweigmedia.com/MundoReal/tutorialsf1/framesGJA.html

Ficha bibliográfica:
UTVPAV. (2014). Operaciones elementales de renglón. 29 Nov 2015, de UTVPAV Sitio web: https://www.youtube.com/watch?v=y3F1B4-sVko

4.1.5.4 Reducción de Gauss y Gauss-Jordan.

Ficha bibliográfica:

Tareasplus. (2011). Ejemplo reducción gauss-jordan parte 1. 29 Nov 2015, de Tareasplus Sitio web: https://www.youtube.com/watch?v=M1mvVy6347U

Ficha bibliográfica:
Tareasplus. (2011). Ejemplo reducción gauss-jordan parte 2. 29 de Nov 2015, de Tareasplus Sitio web: https://www.youtube.com/watch?v=Jp925JId26k

4.1.5.5 Sistemas homogéneos.

Si un sistema de m ecuaciones y n incógnitas tiene todos los términos independientes nulos se dice que es homogéneo.
Sólo admite la solución trivial: x1 = x2 =... = xn = 0.
La condición necesaria y suficiente para que un sistema homogéneo tenga soluciones distintas de la trivial es que el rango de la matriz de los coeficientes sea menor que el nº de incógnitas, o dicho de otra forma, que el determinante de la matriz de los coeficientes sea nulo.
r < n
Observemos que esto se debe a que:
De este modo estamos en el caso del teorema de Rouche en el que r(A)=r(A') y su valor es menor al número de incógnitas, siendo así el sistema compatible indeterminado.
Ejemplos

r = 3 n = 3

http://www.vitutor.com/algebra/sistemas%20I/homogeneos_2.html

Ficha bibliográfica:

(2015). Sistemas homogéneos.En: vitutor 29 Nov 2015 Disponible en: http://www.vitutor.com/algebra/sistemas%20I/homogeneos_2.html

4.2 Álgebra de Matrices

Álgebra de matrices
La matriz unidad de orden n×n es la matriz I de orden n×n en la cual todas las entradas son cero excepto los de la diagonal principal, que son 1. En símbolos:

Iij = 1 si i = j y Iij = 0 si i ≠ j.
Una matriz cero es una matriz O en la cual todas las entradas son cero.

Las operaciones de adición, multiplicación escalar, multiplicación entre matrices se cumplen las siguientes reglas:

A+(B+C) = (A+B)+C Regla asociativa de adición
A+B = B+A Regla conmutativa de adición
A+O = O+A = A Regla unidad de adición
A+( - A) = O = ( - A)+A Regla inversa de adición
c(A+B) = cA+cB Regla distributiva
(c+d)A = cA+dA Regla distributiva
1A = A Unidad escalar
0A = O Cero escalar
A(BC) = (AB)C Regla asociativa de multiplicación
AI = IA = A Regla unidad de multiplicación
A(B+C) = AB + AC Regla distributiva
(A+B)C = AC + BC Regla distributiva
OA = AO = O Multiplicación por matriz cero
(A+B)T = AT + BT Trasposición de una suma
(cA)T = c(AT) Trasposición de un producto escalar
(AB)T = BTAT Trasposición de un producto matriz

La única regla que está notablemente ausente es la de conmutatividad del producto entre matrices. El producto entre matrices no es conmutativo: AB no es igual a BA en general.

Ejemplos

La siguiente es la matriz unidad de orden 4×4:

I =	1	0	0	0
	0	1	0	0
	0	0	1	0
	0	0	0	1

El fallo de la regla conmutativa para el producto entre matrices se muestra por el siguiente ejemplo:

A =		0	1
		1/3	-1

B =

	1	-1
	2/3	-2

AB =

	2/3	-2
	-1/3	5/3

BA =

	-1/3	2
	-2/3	8/3

http://www.zweigmedia.com/MundoReal/Summary3a.html

Ficha bibliográfica:
Stefan Waner . (2007). Matemáticas finitas resumen del tema: álgebra de matrices. 29 Nov. 2015, de zweigmedia Sitio web: http://www.zweigmedia.com/MundoReal/Summary3a.html

Ficha bibliográfica:

Tareasplus. (2012). Álgebra de matrices. 29 Nov. 2015, de Tareasplus Sitio web: https://www.youtube.com/watch?v=3tqC7LLJW4M

4.2.1 Tipos de matrices (cuadrada, rectangular, triangular, matriz identidad, matriz transpuesta).

La matriz cuadrada

tiene el mismo número de filas que de columnas.

Los elementos de la forma aii constituyen la diagonal principal.

La diagonal secundaria la forman los elementos con i+j = n+1, siendo n el orden de la matriz.

Matriz rectangular

La matriz rectangular tiene distinto número de filas que de columnas, siendo su dimensión mxn.

Matriz triangular superior

En una matriz triangular superior los elementos situados por debajo de la diagonal principal son ceros.

Matriz triangular inferior

En una matriz triangular inferior los elementos situados por encima de la diagonal principal son ceros.

atriz identidad o unidad

Una matriz identidad es una matriz diagonal en la que los elementos de la diagonal principal son iguales a 1.

Matriz traspuesta

Dada una matriz A, se llama matriz traspuesta de A a la matriz que se obtiene cambiando ordenadamente las filas por las columnas.

matrices traspuestas

http://www.vitutor.com/algebra/matrices/tipos.html

Ficha bibliográfica:

vitutor. (2014). vitutor. Recuperado el 29 de 11 de 2015, Tipos de matrices: http://www.vitutor.com/algebra/matrices/tipos.html

4.2.2 Operaciones con matrices (suma, diferencia, multiplicación por escalar y producto de matrices).

Sumar y restar matrices

Para sumar y restar matrices, éstas pueden ser, las dos cuadradas o las dos rectangulares. El número de filas y columnas de una han de ser igual al número de filas y columnas de la segunda.

Sumar:

Sumamos los valores que ocupan la misma posición.

El valor que se halla en la posición (1 1) de A con el valor de la posición (1 1) de la matriz B.

El valor que se halla en la posición (1 2) de A con el valor de la posición (1 2) de la matriz B.

El valor que se halla en la posición (1 3) de A con el valor de la posición (1 3) de la matriz B. De este modo haremos con el resto de las filas.

Vamos a sumar las matrices A y B:

Restar matrices:

Es lo mismo que en el caso anterior pero restando los valores que ocupan las mismas posiciones:

Ejercicio #8 ¿Cuánto vale:

Respuesta:

Multiplicar matrices:

Vamos a considerar 2 casos:

1) Multiplicar una matriz por un escalar

Multiplicamos cada elemento por el escalar:

2) Multiplicar dos matrices es preciso que la 1ª tenga tantas columnas como filas la 2ª matriz. El resultado será una matriz que tiene el mismo número de filas como tiene la 1ª y tantas columnas como tiene la 2ª:

Multiplicamos las matrices:

Tenemos que multiplicar el primer elemento de la 1ª fila de A (3) por el primer elemento de la fila de B (2).

El segundo elemento de la fila 1ª de A (2) por el 2º elemento de la fila de B (-4).

El tercer elemento de la 1ª fila de A (6) por el tercer elemento de la fila de B (6).

Hago lo mismo con los elementos de la 2º fila de A:

Multiplico el primer elemento de la 2ª fila de A (– 2) por el primer elemento de la fila de B (2).

El segundo elemento de la fila 2ª de A (4) por el 2º elemento de la fila de B (-4).

El tercer elemento de la 2ª fila de A (6) por el tercer elemento de la fila de B (6).

Quizá te resulte algo complicado la operación de multiplicar.

Dadas dos matrices de la misma dimensión, A = (a_ij) y B = (b_ij), se define la matriz suma como:

A + B = (a_ij + b_ij)

La matriz suma se obtiene sumando los elementos de las dos matrices que ocupan la misma posición

http://www.vitutor.com/algebra/matrices/operaciones.html

http://www.aulafacil.com/cursos/l11067/ciencia/matematicas/matrices-y-determinantes/operaciones-con-matrices-ejercicio-8

Fichas bibliográficas:

Vitutor. (2014). Propiedades de la suma de matrices. 29 Nov. 2015, de Vitutor Sitio web: http://www.vitutor.com/algebra/matrices/operaciones.html

Aulafacil. (2015). Curso gratis de Matrices y Determinantes. 29 Nov. 2015, de aulafacil Sitio web: http://www.aulafacil.com/cursos/l11067/ciencia/matematicas/matrices-y-determinantes/operaciones-con-matrices-ejercicio-8

Ficha bibliográfica:

Gilberto Vizcarra Morales. (2015). Suma, Resta y Multiplicación de Matrices. 29 Nov. 2015, de Gilberto Vizcarra Morales Sitio web: https://www.youtube.com/watch?v=ogzrr35w4Os

4.2.3 Propiedades de las operaciones con matrices.

La suma de dos matrices de orden m x n es otra matriz dimensión m x n.

Asociativa
A + (B + D) = (A + B) + D

Elemento neutro
A + 0 = A Donde O es la matriz nula de la misma dimensión que la matriz A.

Elemento opuesto
A + (-A) = O La matriz opuesta es aquella en que todos los elementos están cambiados de signo.

Conmutativa

A + B = B + A

Propiedades del producto de matrices

Asociativa
A • (B • C) = (A • B) • C

Elemento neutro
A • I = A Donde I es la matriz identidad del mismo orden que la matriz A. Anticonmutativa A • B ≠ B • A

Distributiva del producto respecto de la suma

A · (B + C) = A · B + A · C

https://es.wikibooks.org/wiki/Apuntes_matem%C3%A1ticos/Primero_Administraci%C3%B3n/Conjuntos_Num%C3%A9ricos

Ficha bibliográfica:
LAY, David C.. (1999). ÁLGEBRA LINEAL CON APLICACIONES. 29 Nov. 2015, de wikibooks Sitio web: https://es.wikibooks.org/wiki/Apuntes_matem%C3%A1ticos/Primero_Administraci%C3%B3n/Conjuntos_Num%C3%A9ricos

4.2.4 Matriz inversa.

Definición de matriz inversa
Se dice que una matriz cuadrada A es inversible, si existe una matriz B con la propiedad de que
A·B = B·A = I
siendo I la matriz identidad.
Denominamos a la matriz B la inversa de A y la denotamos por A-1.
Una matriz se dice que es inversible o regular si posee inversa. En caso contrario, se dice que es

singular.

La ampliamos con la matriz identidad de orden 3.

2 Utilizando el método Gauss vamos a transformar la mitad izquierda, A, en la matriz identidad, que ahora está a la derecha, y la matriz que resulte en el lado derecho será la matriz inversa: A⁻¹.

F2 = F2 − F1

PASO 2º

F3 = F3 + F2

PASO 3º

F2 = F2 − F3

PASO 4º

F1 = F1 + F2

PASO 5º

F2 = (−1) F2

PASO 6º

La matriz inversa es:

http://www.vitutor.com/algebra/matrices/inversa.html

http://www.uoc.edu/in3/emath/docs/Matriz_Inversa.pdf

Fichas bibliográficas:

Cristina Steegmann Pascual,Juan Alberto Rodríguez Velázquez . (2015). MATRIZ INVERSA . 29 Nov. 2015, de UOC Sitio web: http://www.uoc.edu/in3/emath/docs/Matriz_Inversa.pdf

Vitutor. (2014). matriz inversa. 29 Nov. 2015, de Vitutor Sitio web: http://www.vitutor.com/algebra/matrices/inversa.html

4.3 Determinantes

A cada matriz cuadrada A se le asigna un escalar particular denominado determinante de A, denotado por |A| o por det (A).

|A| =

Determinante de orden uno

|a₁₁| = a₁₁
Ejemplo

|5| = 5
Determinante de orden dos

= a ₁₁ a ₂₂ − a ₁₂ a ₂₁

Ejemplo

determinante de orden 2

Determinante de orden tres

Consideremos una matriz 3x3 arbitraria A = (aij). El determinante de A se define como sigue:

determinante de orden 3

= a₁₁ a₂₂ a₃₃ + a₁₂ a₂₃a ₃₁ + a₁₃ a₂₁a₃₂ −

− a₁₃ a₂₂ a₃₁ − a₁₂ a₂₁ a₃₃− a₁₁ a₂₃ a_32.

Obsérvese que hay seis productos, cada uno de ellos formado por tres elementos de la matriz. Tres de los productos aparecen con signo positivo (conservan su signo) y tres con signo negativo (cambian su signo).

Ejemplo

3 · 2 · 4 + 2 · (−5) · (−2) + 1 · 0 · 1 −

− 1 · 2 · (−2) − 2 · 0 · 4 − 3 · (−5) · 1 =

= 24 + 20 + 0 − (−4) − 0 − (−15) =

= 44 + 4 + 15 = 63

http://www.vitutor.com/algebra/determinantes/determinantes.html

Ficha bibliográfica:

Vitutor. (2014). determinante. 29 Nov. 2015, de Vitutor Sitio web: http://www.vitutor.com/algebra/determinantes/determinantes.html

4.3.1 Definición de un determinante.

En Matemáticas se define el determinante como una forma multilineal alternada de un cuerpo. Esta definición indica una serie de propiedades matemáticas y generaliza el concepto de determinante haciéndolo aplicable en numerosos campos. Sin embargo, el concepto de determinante o de volumen orientado fue introducido para estudiar el número de soluciones de los sistemas de ecuaciones lineales.

https://es.wikipedia.org/wiki/Determinante_(matem%C3%A1tica)

Ficha bibliográfica:
Kline, Morris. (1990). Determinantes. 29 Nov. 2015, de wikipedia Sitio web: https://es.wikipedia.org/wiki/Determinante_(matem%C3%A1tica)
4.3.2 Expansión por cofactores.

Expansión por cofactores de un determinante.

Se puede probar el siguiente

Teorema
Todo determinante es igual a la suma de los productos de los elementos de un renglón (o columna) cualquiera por sus cofactores correspondientes.

Esto es

es el desarrollo del determinante D por el renglón i, y similarmente

es el desarrollo del determinante D por la columna k.

Las expresiones (2) y (3) son fórmulas completamente generales, cualquier determinante de cualquier dimensión se puede evaluar usando estas fórmulas.

http://fcm.ens.uabc.mx/~matematicas/algebralineal/III%20Dets/menores%20y%20cofactores.htm

4.3.3 Propiedades de los determinantes.

1 |A^t|= |A|

El determinante de una matriz A y el de su traspuesta A^t son iguales.

2 |A| = 0 Si:

Posee dos filas (o columnas) iguales.

Todos los elementos de una fila (o una columna) son nulos.

Los elementos de una fila (o una columna) son combinación lineal de las otras.

F₃ = F₁ + F₂

3 Un determinante triangular es igual al producto de los elementos de la diagonal principal.

4 Si en un determinante se cambian entre sí dos filas (o dos columnas), su valor sólo cambia de signo.

5 Si a los elementos de una fila (o una columna) se le suman los elementos de otra multiplicados previamente por un número real, el valor del determinante no varía.

Es decir, si una fila (o una columna) la transformamos en una combinación lineal de las demás, el valor del determinante no varía.

6 Si se multiplica un determinante por un número real, queda multiplicado por dicho número cualquier fila (o cualquier columna), pero sólo una.

7 Si todos los elementos de una fila (o columna) están formados por dos sumandos, dicho determinante se descompone en la suma de dos determinantes en los que las demás filas (o columnas) permanecen invariantes.

8 |A · B| =|A| · |B|

El determinante de un producto es igual al producto de los determinantes

http://www.vitutor.com/algebra/determinantes/propiedades.html

Ficha bibliográfica:
Vitutor. (2014). Propiedades de los determinantes . 29 Nov. 2015, de Vitutor Sitio web: http://www.vitutor.com/algebra/determinantes/propiedades.html

4.3.4 Regla de Cramer.

La regla de Cramer se aplica para resolver sistemas de ecuaciones lineales que cumplan las siguientes condiciones:

1 El número de ecuaciones es igual al número de incógnitas.

2 El determinante de la matriz de los coeficientes es distinto de cero.

Tales sistemas son sistemas compatibles determinados y se denominan sistemas de Cramer.

Sea Δ el determinante de la matriz de coeficientes.

Todo sistema de Cramer tiene una sola solución (es decir, es un sistema compatible determinado) que viene dada por las siguientes expresiones:

Δ₁, Δ₂ , Δ₃, ... , Δ_n son los determinantes que se obtiene al sustituir los coeficientes del 2º miembro (los términos independientes) en la 1ª columna, en la 2ª columna, en la 3ª columna y en la enésima columna respectivamente.

http://www.vitutor.com/algebra/sistemas%20I/cramer.html

Ficha bibliográfica:

Vitutor. (2014). Regla de Cramer. 29 Nov. 2015, de Vitutor Sitio web: http://www.vitutor.com/algebra/sistemas%20I/cramer.html

4.4 Aplicaciones: Modelo insumo-producto, análisis de ventas y comportamiento del consumidor.

Una matriz insumo-producto para una economía da, en su ja columna, las cantidades (en dólares o otra moneda apropiada) del productos de cada sector usado como insumo por sector j (en un año o otra apropiada unidad de tiempo). Da también la producción total de cada sector de la economía durante un año (llamada el vector producción cuando está escrito como una columna).

La matriz tecnología es la matriz que se obtiene dividiendo cada columna por la producción total del sector correspondiente. Su ija entrada , el ijo coeficiente tecnología, da el insumo de sector i para producir una unidad de producto del sector j. Un vector demanda es un vector columna que expresa la demanda total desde fuera la economía de los productos de cada sector. Sea A la matriz tecnología, X el vector producción, y D el vector demanda, entonces

(I - A)X = D,
o
X = (I - A)-1D.
Estas mismas ecuaciones son válidas si D es un vector que representa cambio de demanda, y X es un vector que representa cambio de producción. Las entradas en una columna de (I - A)-1 representan el cambio en producción de cada sector necesario para satisfacer una unidad de cambio de demanda en el sector que corresponde a aquella columna, tomando en cuenta todos los efectos directos y indirectos.

http://www.zweigmedia.com/MundoReal/Summary3a.html

Ficha bibliográfica:
Stefan Waner . (2007). Matemáticas finitas resumen del tema: álgebra de matrices. 29 Nov. 2015, de zweigmedia Sitio web: http://www.zweigmedia.com/MundoReal/Summary3a.html

Resumen:

En este modulo volvimos a recordar los sistemas de ecuaciones lineales para aplicarlos en matrices. Nos introducimos al tema de la Matriz. Conocimos los diferentes tipos de matrices, sus propiedades y también la forma de aplicarlas para determinar el insumo-producto en la economía.

MATEMÁTICAS II

jueves, 12 de noviembre de 2015

MODULO 4. Sistemas de ecuaciones lineales y matrices

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