Objetivo Particular del Periodo:
El alumno entenderá el concepto de integral y su
relación con la derivada. Resolverá problemas de aplicación dando énfasis a
aquellos relacionados con las áreas económico-administrativas tales como:
Economía, Mercadotecnia, Administración, Turismo, Recursos Humanos, Sistemas de
Información y Negocios Internacionales.
2.1 Antiderivada.
Concepto:
Dada una función, sabemos como hallar su derivada, este problema
lo estudia el cálculo diferencial. Cuando se conoce la derivada de
una función y se desea conocer la función original, se usa el cálculo
integral.
[f(x0) + f(x1) + f(x2) + ……………………… + f(xn–1)] D x = 
[f(x1) + f(x2) + f(x3) + ……………………… + f(xn)] D x =
[f(t1) + f(t2) + f(t3) + ……………………… + f(tn)] D x = 
=
[f(x0) + f(x1) + f(x2) + ……………………… + f(xn–1)] D x o bien
= 
donde x0 = a, xn = b y D x = 
.
=[f(x1) + f(x2) + f(x3) + ……………………… + f(xn)] D x
=
donde x0 = a, xn = b y D x = .
= [f(t1) + f(t2) + f(t3) + ……………………… + f(tn)] D x
=
donde x0 = a, xn = b y D x = .
2.2.1 Integración con condiciones iniciales.
Hemos estado analizando temas de gran importancia que son necesarios para entender el entorno que rodea al cálculo de integrales. Así que para continuar con el mismo camino, en esta ocasión tocaremos un tema que también es muy interesante y ayudara a comprender mejor el mundo de las integrales. Me refiero a la constante de integración.
Dentro del cálculo, cualquier integral indefinida de una función se escribe siempre con una constante, la cual se llama constante de integración. La constante de integración se encarga de expresar una ambigüedad inherente a la construcción de primitivas.
Como ya lo sabes, al derivar cualquier función constante, obtendremos como resultado cero. Una vez encontrado dicho resultado se considera una primitiva F a la cual se le puede sumar o restar una constante C, con lo cual se obtiene otra primitiva. Con esto lo que se trata de explicar es que la constante es una manera de expresar que cualquier función cuenta con un número infinito de primitivas diferentes.
Para un mejor entendimiento te invito a que observes las funciones que se te presentan a continuación, en las que podemos darnos cuenta de que la constante C puede tomar valores diferentes tal y como se te explico anteriormente, valores que pueden ser restados o sumados a la función original. Los ejemplos son los siguientes:
f(x) = x + 2
f(x) = x – 8
f(x) = x + 1
Podemos observar que en estos ejemplos, las constantes de integración tienen valores de 2, -8 y 1. Ahora supongamos que derivamos las 3 funciones, y obtenemos los siguientes resultados:
f ‘ (x) = x
f ‘ (x) = x
f ‘ (x) = x
Como te puedes dar cuenta, los resultados de las 3 funciones son el mismo, ¿A qué se debe esto?, ¿Qué pasó con los valores 2, -8 y 1? Es importante aclarar que dentro del cálculo diferencial estos valores tienen un valor de 0, al contrario del cálculo integral, donde son de gran importancia si se quieren obtener las funciones originales a partir de las funciones que ya han sido derivadas.
Ficha bibliográfica:
Yibram Eduardo Jaimes Basa . (2012). La constante de integración y sus condiciones iniciales. 21 Nov. 2015, de calculointegralunivia Sitio web: https://calculointegralunivia.wordpress.com/2012/03/23/la-constante-de-integracion-y-sus-condiciones-iniciales/
Ficha bibliográfica:
Exito en matematicas. (2014). Ecuacion diferencial con condiciones iniciales. 21 Nov.2015, de Exito en matematicas Sitio web: https://www.youtube.com/watch?v=oKTBAgkrR9U
2.3 Fórmulas básicas de integración.
La integral de “n” numero siempre será nx + C. Ejemplo
La integral de una constante siempre será constante * variable +C (ax+C)
La integral de X elevado a “n” numero será Xn+1, lo que se haga en la exponenciación de la X se pondrá también abajo dividiéndola, es una regla establecida. Ejemplo
La integral que divide arriba sobre una variable abajo será logaritmo natural de variable mas C. La formula marca lnX+C porque arriba en dx no tiene constante ni variable pero sí un 1 imaginario, ejemplo.
La integral de un producto se puede separar siempre y cuando no se altere su ecuación. De esta forma se integra en partes. No tienen que ser 3 productos necesariamente para usar la formula ;) Ejemplo.
La integral de un Binomio (V) es parecida a la formula 3, solo que acá al sacar la derivada del binomio (dv) se comprueba que exista la derivada fuera de V, en caso que no exista, se iguala hasta quedar exacto y se elimina, quedando solo el binomio (V) mas la exponenciación + 1.
Se saca el binomio que es (2+X2)
La derivada del binomio es 2X y se le agrega dx, queda 2Xdx. Se comprueba que 2X coincida con el producto de afuera que es X, como es 2X y tenemos X solamente, entonces se tiene que igualar a 2X…¿Cómo?, multiplicando 2(X), lo que hagamos dentro se hace afuera pero en reciproco. Y se elimina la igualdad quedando lo restante.
Ya que se elimino el producto de afuera, se procede con la formula 3, y el ½ estará multiplicando al resultado que quede de la formula.
El 2 que esta en la división del binomio tiene que desaparecer, no se puede multiplicar directo con el 2 de afuera. Para eliminarlo se debe multiplicar medios con medios, extremos con extremos.
2.3.1 Integral indefinida de una constante.
2.3.2 Integral de una constante por una variable.
El cálculo de la integral indefinida es muy parecido al de la integral definida con la diferencia que al final no necesitamos poner los valores ni del límite superior de la integración ni del límite inferior de la integración.
Esto también significa que la solución de la integración indefinida nunca es un número, sino una función del integrando dado. La forma más fundamental para computar la integración de un integrando dado es,
Para integrar un integrando de la forma exponencial, donde el exponente es alguna variable, solo incremente el valor del exponente de la variable por uno y coloque el nuevo exponente en el denominador de la variable dada. Está bastante claro que el valor de n = −1 no es admisible dado que este convertiría el valor del denominador en cero, resultando este en un valor indefinido como respuesta.
Otro método básico de la integración es,
Esto significa que la integración de una constante producirá la variable de integración como salida con la constante dada como su coeficiente.
Existen algunas fórmulas de integración las cuales se utilizan directamente para la integración de funciones trigonométricas, funciones exponenciales, funciones logarítmicas, etc.
Ficha bibliográfica:
Lauro Soto. (Definicion De Integral Indefinida). Definicion De Integral Indefinida. 22 Nov. 2015, de mitecnologico Sitio web: http://mitecnologico.com/igestion/Main/DefinicionDeIntegralIndefinida
http://mitecnologico.com/igestion/Main/DefinicionDeIntegralIndefinida
Ficha bibliográfica:
Janet Lopez. (2012). Derivada de una constante por una variable. 22 Nov. 2015, de Janet Lopez Sitio web: https://www.youtube.com/watch?v=l6IRgULsAdM
2.3.3 Integral de xn
Potencia de x.
Exponente / Logaritmo
Trigonométrica
Resuelta Trigonométrica
Trigonométrica Inversa
Hyperbólica
Presione la Demostración para ver una demostración/discusión del teorema.
http://math2.org/math/integrals/es-tableof.htm
Ficha bibliográfica:
David Manura. (1995-2003). Tablas Matemáticas de David: Tabla de Integrales. 22 Nov. 2015, de math2.org Sitio web: http://math2.org/math/integrals/es-tableof.htm
2.3.4 Integral de en
Ejemplo principal Una bomba está entregando agua a un tanque a una razón de
r(t) = 3t2 + 5 litros/minuto
donde t es el tiempo en minutos desde el momento que la bomba es encendido. ¿Quánto agua es bombeado en el tanque durante los primeros dos minutos?
Primero estimación: r(t) es el número de litros de agua por minuto bombeado en el tanque. En el momento que es encendido la bomba, esta razón es
r(0) = 3(0)2 + 5 = 5 litros/minuto,
así que el volumen total de agua bombeado en el tanque durante los primeros dos minutos debe ser aproximadamente:
Volumen total bombeado = Número de litros/minuto × Número de minutos
≈ r(0) × 2
= 5 × 2 = 10 litros.
Aquí está una gráfica que muestra la curva y la calculación acabamos de hacer
Toma en cuenta dos hechos:
La cantidad estimada de agua bombeada en el tanque es igual a la área del rectángulo rojo.
Hemos signíficamente subestimado el volumen de agua bombeado en el tanque porque, como muestra la gráfica, la razón a la que está entrando agua sube a medida que pasa el tiempo; por ejemplo, la razón es de
r(1) = 3(1)2 + 5 = 8 litros/minuto
Sin embargo, usamos en cambio la razón inicial, r(0) = 5 litros/minuto, como la razón durante el periodo entero [0, 2].
Por lo tanto, vamos a estimar de nuevo la cantidad de agua a través de una calculación minuto-por-minuto, usando la razón de cambio al inicio de cada minuto para la duración de aquel minuto:
Minuto 1: Volumen total bombeado = Número de litros/minuto al inicio de minuto 1 × Número de minutos
≈ r(0) × 1
= 5 × 1 = 5 litros
Minuto 2: Volumen total bombeado = Número de litros/minuto al inicio de minuto 2 × Número de minutos
Ficha bibliográfica:
Stefan Waner. (2012). la integral. 22 Nov. 2015, de zweigmedia Sitio web: http://www.zweigmedia.com/MundoReal/tutorials4/framesIntegralGraphical.html
2.3.5 Integral de una constante por una función de x.
Integrar es el proceso recíproco del de derivar, es decir, dada una función f(x), busca aquellas funciones F(x) que al ser derivadas conducen a f(x).
Se dice, entonces, que F(x) es una primitiva o antiderivada de f(x); dicho de otro modo las primitivas de f(x) son las funciones derivables F(x) tales que:
F'(x) = f(x).
Si una función f(x) tiene primitiva, tiene infinitas primitivas, diferenciándose todas ellas en una constante.
[F(x) + C]' = F'(x) + 0 = F'(x) = f(x)
Integral indefinida
Integral indefinida es el conjunto de las infinitas primitivas que puede tener una función.
Se representa por ∫ f(x) dx.
Se lee : integral de f de x diferencial de x.
∫ es el signo de integración.
f(x) es el integrando o función a integrar.
dx es diferencial de x, e indica cuál es la variable de la función que se integra.
C es la constante de integración y puede tomar cualquier valor numérico real.
Si F(x) es una primitiva de f(x) se tiene que:
∫ f(x) dx = F(x) + C
Para comprobar que la primitiva de una función es correcta basta con derivar.
Propiedades de la integral indefinida
1. La integral de una suma de funciones es igual a la suma de las integrales de esas funciones.
∫[f(x) + g(x)] dx =∫ f(x) dx +∫ g(x) dx
2. La integral del producto de una constante por una función es igual a la constante por la integral de la función.
∫ k f(x) dx = k ∫f(x) dx
http://www.vitutor.com/integrales/indefinidas/integral_indefinida.html
Ficha bibliográfica:
math2me. (2012). Integral de una constante. 22 Nov. 2015, de math2me Sitio web: https://www.youtube.com/watch?v=Mmy6zolldfw
2.3.6 Integral de una suma (diferencia) de funciones.
(a) Reglas de sumas y diferencias
Reglas de sumas y diferencias
En palabras:
La integral de la suma de dos funciones es la suma de las integrales de las funciones individuales, y la integral de la diferencia de dos funciones es la diferencia de las integrales de las funciones individuales.
(b) Regla de múltiples constantes
Para tomar la integral de una constante multiplicada por una función, se toma la integral de la función sola, y después se multiplica la respuesta por la constante. (En otras palabras el constante "sigue para el paseo" )
¿Por qué son válidas estas reglas? Porque la derivada de una sum es la suma de las derivadas, y el caso es parecido para diferencias y múltiplos constantes.
http://webcache.googleusercontent.com/search?q=cache:V0Wah9Wwys0J:www.zweigmedia.com/MundoReal/Calcsumm6.html+&cd=1&hl=es&ct=clnk&gl=mx&client=firefox-a
Ficha bibliográfica:
Stefan Waner. (2007). La integral. 22 de Nov. 2015, de zweigmedia Sitio web: http://webcache.googleusercontent.com/search?q=cache:V0Wah9Wwys0J:www.zweigmedia.com/MundoReal/Calcsumm6.html+&cd=1&hl=es&ct=clnk&gl=mx&client=firefox-a
Ficha bibliográfica:
math2me. (2012). Integral de la suma o resta de funciones. 22 Nov. 2015, de math2me Sitio web: https://www.youtube.com/watch?v=yn_hFO6W6Jk
2.3.7 Regla de la potencia.
Regla de Potencias
La derivada de una potencia o función potencial, es igual al exponente por la base elevada al exponente menos uno y por la derivada de la base.
Con base a la regla de potencias te presentamos un video explicativo sobre el tema y algunos ejemplos que te pueden ayudar para el desarrollo de tu aprendizaje:
http://derivadasencalculo.blogspot.mx/p/regla-de-potencias.html
Ficha bibliográfica:
Derivadas en Calculo. (2011). Regla de Potencias. 22 Nov. 2015, de Derivadas en Calculo Sitio web: https://www.youtube.com/watch?v=kKAwT1dzI30
2.3.7.1 Integrales que incluyen un
Ficha bibliográfica:
lasmatesyyo. (2013). Derivada de u a la n. 22 de Nov. 2015, de lasmatesyyo Sitio web: https://www.youtube.com/watch?v=DKdOtd72vW8
2.3.7.2 Integrales que incluyen funciones exponenciales.
Método y ejemplos de como encontrar la integral indefinida de la función exponencial cuando se encuentra multiplicada por la derivada del exponente
Dicha integral es igual a la función exponencial dividida por el logaritmo natural de la base de dicha función exponencial
En el vídeo se muestran ejemplos de distinta índole de complejidad ya que no siempre es posible vislumbrar que nos encontramos frente a este tipo de integral (denominada por algunos como una integral inmediata)
A lo largo de nuestra serie de vídeos de cálculo integral hemos venido hablando de diversas técnicas para hallar la primitiva de una función. Básicamente se han explorado dos fórmulas potentes que nos servían para encontrar la integral de una función a la n por su derivada, y cuando queremos encontrar la integral de l derivada sobre la función. Estas tienen unos casos particulares, y vimos mediante cambio de variable cómo podemos simplificar algunas funciones para llevarlas a los casos anteriormente mencionados. De ahora en adelante vamos a llamar estos tipos de integrales como integrales de tipo potencial o integrales de tipo logarítmica, respectivamente. Este par de integrales se denominan comúnmente como integrales inmediatas, ya que nacen en realidad de las derivadas.
En este vídeo vamos a hablar de un nuevo tipo de integral conocido como exponencial, y se deduce entonces de la fórmula de la derivada de un “a” a la f(x), una fórmula nueva para encontrar primitivas. Podemos decir entonces que cuando tengamos que encontrar la integral de una función exponencial por la derivada de su exponente, vamos a decir que es igual a tener la exponencial dividida por el logaritmo natural de la base de dicha función. El ejemplo más simple y útil de recordar, es la de la integral de e a la x, que es igual a tener e a la x más c. De allí podemos deducir entonces que cuando tengamos que hallar la integral de e a la f(x), es igual a tener e a la f(x)+C. En el video se desarrollan algunos ejemplos para mostrar cómo hallar entonces este tipo de integrales de manera rápida, identificando quien es f(x) y f’(x). No en todos los casos vamos a encontrarnos con la derivada tal cual, sino algo similar, y mediante una serie de “artilugios” podemos llegar a la integral, incluso utilizando la sustitución.
https://aula.tareasplus.com/Roberto-Cuartas/CALCULO-INTEGRAL/Integral-de-la-funcion-exponencial
Ficha bibliográfica:
Roberto Cuartas . (2014). Integral de la función exponencial. 22 de Nov. 2015, de tareasplus Sitio web: https://aula.tareasplus.com/Roberto-Cuartas/CALCULO-INTEGRAL/Integral-de-la-funcion-exponencial
Ficha bibliográfica:
Tareasplus. (2012). Integral de la función exponencial. 22 de Nov. 2015, de Tareasplus Sitio web: https://www.youtube.com/watch?v=NXtNSiUXSfI
2.3.8 Integrales que incluyen funciones logarítmicas.
Ficha bibliográfica: math2me. (2012). Funciones con logaritmo natural (integral por sustitución). 22 de Nov. 2015, de math2me Sitio web: https://www.youtube.com/watch?v=3m-10Npe_IQ
2.3.9 Integrales que incluyen (1/u)du
.Ficha bibliográfica:
lasmatesyyo. (2013). Integrales de la forma du/u. 22 de Nov. 2015, de lasmatesyyo Sitio web: https://www.youtube.com/watch?v=9xS3kKGU2-A
2.3.10 Integrales incluyen au
ARYA, J. C. (2009). Matemáticas aplicadas a la administración. México: Pearson Educacíon.
2.3.11 Integral por partes.
Integración por partes es un análogo de la regla del producto para derivadas, aunque su fórmula es un pocito más complicada. Aunque, cuando haces integración por partes a través del método tabular mostramos aquí no necesitarás ningunas fórmulas, y el método es tan simple que, al terminar este tutorial, te preguntarás por qué todos los demás tienen ¡tantos problemas con este tema!
P Por lo que he escuchado, el método tabular solo se aplica a tipos específicos de problemas integración por partes. ¿És verdad?
R No es verdad. El método tabular como lo presentamos aquí se aplica a cada tipo de problema integración por partes, y por lo tanto nunca tendrás que saber el método tradicional anticuado hacerlo que da tanta dificultad a tus amigos.
Primero, un poco de notación: Si u es una función, denotar si derivada por D(u) y un antiderivada por I(u). Así, por ejemplo, si u = 2x2, entonces
D(u) = 4x, y I(u) =
2x3
3
.
(Si prefiriéramos, podríamos tomar I(u) =
2x3
3
+ 46, pero usualmente optamos par la antiderivada más simple).
2.4 Aplicaciones: Determinación de funciones de costo, utilidades, consumo, y ahorro a partir de sus marginales.
DETERMINACIÓN DE FUNCIONES DE COSTO:
Servir de base para fijar precios de venta y para establecer políticas de comercialización.
Facilitar la toma de decisiones.
Permitir la valuación de inventarios.
Controlar la eficiencia de las operaciones
UTILIDADES:
Utilidad es la propiedad por la cual una cosa o acción adquiere la condición de valor útil para satisfacer las necesidades humanas. Puede hacer referencia a los siguientes términos:
En economía: utilidad (economía) a la función de utilidad, cuya derivada es la utilidad marginal; a un criterio para encontrar el punto óptimo de eficiencia de Pareto, en el cual no es posible beneficiar a más elementos de un sistema sin perjudicar a otros; y a la subjetividad de la utilidad esperada; En filosofía: al utilitarismo, una teoría ética.
En informática: a una herramienta que sirve de soporte para la construcción y ejecución de programas;
En el derecho registral: al catálogo de montes de utilidad pública; al monte de utilidad pública;
En contabilidad también denominado beneficio, es la diferencia entre los ingresos obtenidos por un negocio y todos los gastos incurridos en la generación de dichos ingresos; véase beneficio económico
CONSUMO Y AHORRO A PARTIR DE SUS MARGINALES.
La propensión marginal al consumo mide el incremento que se produce en el consumo cuando la renta crece en una unidad. Teniendo en cuenta que los crecimientos de la renta se destinan parcialmente a un mayor consumo y parcialmente a un mayor ahorro, la propensión marginal se sitúa entre cero y uno.
La función de consumo agregado puede escribirse de la siguiente forma:
C = a + c x Y
En esta expresión C representa el gasto de consumo, mientras que Y es la renta disponible. Cuando la renta disponible se incrementa, el gasto total de consumo crece en una proporción igual a c, que es la propensión marginal a consumir. El término a de la función de consumo se denomina consumo autónomo, y recoge aquel nivel mínimo de consumo que se realizaría aunque no se dispusiese de renta en un periodo.
Junto al concepto de propensión marginal a consumir se define el concepto de propensión media al consumo, o cociente entre el gasto total en consumo y la renta disponible. Una propiedad de esta función de consumo es que, aunque decreciente, esta propensión media es mayor que la propensión marginal:
C / Y = a/Y + c
La propensión marginal al ahorro (s) es igual a 1-c, ya que las familias destinan al ahorro (S) los incrementos de renta que no destinan al consumo.
Y = C + S
ΔY = ΔC + ΔS
1 = ΔC/ΔY + ΔS/ΔY
1 = c + s
http://www.expansion.com/diccionario-economico/propension-marginal-al-consumo-ahorro.html
Ficha bibliográfica:
Uxó González, Jorge. (2015). PROPENSIÓN MARGINAL AL CONSUMO/AHORRO. 29 Nov. 2015, de expansión Sitio web: http://www.expansion.com/diccionario-economico/propension-marginal-al-consumo-ahorro.html
Resumen:
En este modulo, vimos los temas de las antiderivadas, y nos introducimos también a las integrales y sus diferentes formas las cuales son: indefinida, indefinida de una constante, Integral de una constante por una variable, de la forma xn, de la forma en,Integral de una constante por una función de x,Integral de una suma (diferencia) de funciones, de la forma un,Integrales que incluyen funciones exponenciales,Integrales que incluyen funciones logarítmicas, de la forma (1/u)du, Integral por partes y la forma de aplicarlas para determinar costos.
2.1 Antiderivada.
Concepto:
Dada una función, sabemos como hallar su derivada, este problema
lo estudia el cálculo diferencial. Cuando se conoce la derivada de
una función y se desea conocer la función original, se usa el cálculo
integral.
La antiderivada o primitiva de una función f(x) es otra función F(x)+C
donde C es una constante. Si al derivar F(x)+C nos da como respuesta f(x)
Es decir F’(x) = f(x)
A la función F(x) se le llama una antiderivada de la una función f(x).
Ejemplo ¿Qué se derivo para que la derivada sea xf = 4?
Por el método de Ensayo y Error se puede ver que la funcion que se
derivo es:
F1 (x)= 4x pero también las funciones
F2 (x)=4x+5
F3 (x)=4x-2
F4 (x)=4x-12
F5 (x)=4x+15
F6 (x)=4x+8
F(x) = 4x+C
Es decir que la funcion cuya derivada es 4 es una familia de
funciones en este caso lineales cuyos miembros todos tienen
pendiente de +4 pero diferentes intersecciones con el eje y como
vemos en las graficas para los diferentes valores de la constante C
C =0 C=5 C=-2 C=12 C=15 C=8
Ficha bibliográfica:
ANTONIO NARIÑO . (2012). ANTIDERIVADAS. 21 Nov. 2015, de solucionesdeingenio Sitio web: http://sosa.solucionesdeingenio.com/wp-content/uploads/2012/09/antiderivada.pdf
Ficha bibliográfica:
wilmer Duran. (2011). ANTIDERIVADAS.calculo WILEDU. 21 Nov. 2015, de wilmer Duran Sitio web: https://www.youtube.com/watch?v=1ftsUqvnn8Q
2.2 Integral indefinida.
Cuando estudiamos el problema del área y el problema de la distancia analizamos que tanto el valor del área debajo de la gráfica de una función como la distancia recorrida por un objeto se puede calcular aproximadamente por medio de sumas o bien exactamente como el límite de una suma.
2.2 Integral indefinida.
Cuando estudiamos el problema del área y el problema de la distancia analizamos que tanto el valor del área debajo de la gráfica de una función como la distancia recorrida por un objeto se puede calcular aproximadamente por medio de sumas o bien exactamente como el límite de una suma.
[f(x0) + f(x1) + f(x2) + ……………………… + f(xn–1)] D x = [f(x1) + f(x2) + f(x3) + ……………………… + f(xn)] D x =
(se utiliza el valor de la función en el extremo derecho de cada subintervalo)
[f(t1) + f(t2) + f(t3) + ……………………… + f(tn)] D x =
(se utiliza el valor de la función en cualquier punto de cada subintervalo
Este tipo de límites aparece en una gran variedad de situaciones incluso cuando f no es necesariamente una función positiva. Teniendo en cuenta lo expresado surge la necesidad de dar un nombre y una notación a este tipo de límites.
Definición 1: Si f es una función continua sobre el intervalo [a, b], entonces la integral definida de f de a a b, que se indica a 
es el número
es el número= [f(x0) + f(x1) + f(x2) + ……………………… + f(xn–1)] D x o bien= donde x0 = a, xn = b y D x = .
(la función se evalúa en el extremo izquierdo de cada subintervalo [xi-1, xi] con i = 1, .., n)
Definición 2: Si f es una función continua sobre el intervalo [a, b], entonces la integral definida de f de a a b, que se indica 
es el número:
es el número:=[f(x1) + f(x2) + f(x3) + ……………………… + f(xn)] D x= donde x0 = a, xn = b y D x = .
(la función se evalúa en el extremo derecho de cada subintervalo [xi-1, xi] con i = 1, .., n)
Definición 3: Si f es una función continua sobre el intervalo [a, b], entonces la integral definida de f de a a b, que se indica 
es el número:
es el número:= [f(t1) + f(t2) + f(t3) + ……………………… + f(tn)] D x= donde x0 = a, xn = b y D x = .
(la función se evalúa en cualquier punto ti de cada subintervalo [xi-1, xi] con i = 1, .., n)
El número a es el límite inferior de integración y el número b es el límite superior de integración .
Notación y terminología:
Ficha bibliográfica :
Purcell, E. y Varberg, D.. (1993). Cálculo Diferencial e Integral. 21 Nov. 2015, de Prentice Hall Hispanoamericana Sitio web: http://www.fca.unl.edu.ar/Intdef/IntegralDefinida.htm
2.2.1 Integración con condiciones iniciales.
Hemos estado analizando temas de gran importancia que son necesarios para entender el entorno que rodea al cálculo de integrales. Así que para continuar con el mismo camino, en esta ocasión tocaremos un tema que también es muy interesante y ayudara a comprender mejor el mundo de las integrales. Me refiero a la constante de integración.
Dentro del cálculo, cualquier integral indefinida de una función se escribe siempre con una constante, la cual se llama constante de integración. La constante de integración se encarga de expresar una ambigüedad inherente a la construcción de primitivas.
Como ya lo sabes, al derivar cualquier función constante, obtendremos como resultado cero. Una vez encontrado dicho resultado se considera una primitiva F a la cual se le puede sumar o restar una constante C, con lo cual se obtiene otra primitiva. Con esto lo que se trata de explicar es que la constante es una manera de expresar que cualquier función cuenta con un número infinito de primitivas diferentes.
Para un mejor entendimiento te invito a que observes las funciones que se te presentan a continuación, en las que podemos darnos cuenta de que la constante C puede tomar valores diferentes tal y como se te explico anteriormente, valores que pueden ser restados o sumados a la función original. Los ejemplos son los siguientes:
f(x) = x + 2
f(x) = x – 8
f(x) = x + 1
Podemos observar que en estos ejemplos, las constantes de integración tienen valores de 2, -8 y 1. Ahora supongamos que derivamos las 3 funciones, y obtenemos los siguientes resultados:
f ‘ (x) = x
f ‘ (x) = x
f ‘ (x) = x
Como te puedes dar cuenta, los resultados de las 3 funciones son el mismo, ¿A qué se debe esto?, ¿Qué pasó con los valores 2, -8 y 1? Es importante aclarar que dentro del cálculo diferencial estos valores tienen un valor de 0, al contrario del cálculo integral, donde son de gran importancia si se quieren obtener las funciones originales a partir de las funciones que ya han sido derivadas.
Ficha bibliográfica:
Yibram Eduardo Jaimes Basa . (2012). La constante de integración y sus condiciones iniciales. 21 Nov. 2015, de calculointegralunivia Sitio web: https://calculointegralunivia.wordpress.com/2012/03/23/la-constante-de-integracion-y-sus-condiciones-iniciales/
Ficha bibliográfica:
Exito en matematicas. (2014). Ecuacion diferencial con condiciones iniciales. 21 Nov.2015, de Exito en matematicas Sitio web: https://www.youtube.com/watch?v=oKTBAgkrR9U
2.3 Fórmulas básicas de integración.
Recordemos que como en las derivadas, las integrales poseen reglas, propiedades y formulas para su procedimiento. Las integrales poseen un signo en su inicio en forma de S alargada y con una terminación de dx, esto las diferencia de otras ecuaciones. Una integral a realizar siempre ira acompañada de una S alargada al inicio y un dx al final. Estas son las formulas básicas de integración.
La integral de “n” numero siempre será nx + C. Ejemplo
La integral de una constante siempre será constante * variable +C (ax+C)
La integral de X elevado a “n” numero será Xn+1, lo que se haga en la exponenciación de la X se pondrá también abajo dividiéndola, es una regla establecida. Ejemplo
La integral que divide arriba sobre una variable abajo será logaritmo natural de variable mas C. La formula marca lnX+C porque arriba en dx no tiene constante ni variable pero sí un 1 imaginario, ejemplo.
La integral de un producto se puede separar siempre y cuando no se altere su ecuación. De esta forma se integra en partes. No tienen que ser 3 productos necesariamente para usar la formula ;) Ejemplo.
La integral de un Binomio (V) es parecida a la formula 3, solo que acá al sacar la derivada del binomio (dv) se comprueba que exista la derivada fuera de V, en caso que no exista, se iguala hasta quedar exacto y se elimina, quedando solo el binomio (V) mas la exponenciación + 1.
Se saca el binomio que es (2+X2)
La derivada del binomio es 2X y se le agrega dx, queda 2Xdx. Se comprueba que 2X coincida con el producto de afuera que es X, como es 2X y tenemos X solamente, entonces se tiene que igualar a 2X…¿Cómo?, multiplicando 2(X), lo que hagamos dentro se hace afuera pero en reciproco. Y se elimina la igualdad quedando lo restante.
Ya que se elimino el producto de afuera, se procede con la formula 3, y el ½ estará multiplicando al resultado que quede de la formula.
El 2 que esta en la división del binomio tiene que desaparecer, no se puede multiplicar directo con el 2 de afuera. Para eliminarlo se debe multiplicar medios con medios, extremos con extremos.
Ficha bibliográfica:
locoraphael. (2010). Introducción a las Formulas básicas de Integración.. 22 Nov. 2015, de ingenieriaensistemasuat Sitio web: https://ingenieriaensistemasuat.wordpress.com/2010/12/14/381/
La integral de una constante es igual a la constante por x.
Ejemplo
Integral de cero
ficha bibliográfica es :
inetor. (2015). integral de una constante . 22 Nov. 2015, de inetor Sitio web: http://www.inetor.com/indefinidas/integral_constante.html
Ficha bibliográfica:
Tareasplus. (2011). Integral de una constante. 22 Nov. 2015, de Tareasplus Sitio web: https://www.youtube.com/watch?v=GR6Tin6Epzg
2.3.2 Integral de una constante por una variable.
El cálculo de la integral indefinida es muy parecido al de la integral definida con la diferencia que al final no necesitamos poner los valores ni del límite superior de la integración ni del límite inferior de la integración.
Esto también significa que la solución de la integración indefinida nunca es un número, sino una función del integrando dado. La forma más fundamental para computar la integración de un integrando dado es,
Para integrar un integrando de la forma exponencial, donde el exponente es alguna variable, solo incremente el valor del exponente de la variable por uno y coloque el nuevo exponente en el denominador de la variable dada. Está bastante claro que el valor de n = −1 no es admisible dado que este convertiría el valor del denominador en cero, resultando este en un valor indefinido como respuesta.
Otro método básico de la integración es,
Esto significa que la integración de una constante producirá la variable de integración como salida con la constante dada como su coeficiente.
Existen algunas fórmulas de integración las cuales se utilizan directamente para la integración de funciones trigonométricas, funciones exponenciales, funciones logarítmicas, etc.
Ficha bibliográfica:
Lauro Soto. (Definicion De Integral Indefinida). Definicion De Integral Indefinida. 22 Nov. 2015, de mitecnologico Sitio web: http://mitecnologico.com/igestion/Main/DefinicionDeIntegralIndefinida
http://mitecnologico.com/igestion/Main/DefinicionDeIntegralIndefinida
Ficha bibliográfica:
Janet Lopez. (2012). Derivada de una constante por una variable. 22 Nov. 2015, de Janet Lopez Sitio web: https://www.youtube.com/watch?v=l6IRgULsAdM
2.3.3 Integral de xn
Potencia de x.
 xn dx = x(n+1) / (n+1) + C (n  -1) | 1/x dx dx = ln|x| + C |
| ex dx = ex + C | bx dx = bx / ln(b) + C |
| ln(x) dx = x ln(x) - x + C |
| sen x dx = -cos x + C | cos x dx = sen x + C | tan x dx = -ln|cos x| + C |
| csc x dx = - ln|csc x + cot x| + C | sec x dx = ln|sec x + tan x| + C | cot x dx = ln|sen x| + C |
| cos x dx = sen x + C | sen x dx = -cos x + C | sec2 x dx = tan x + C |
| csc x cot x dx = -csc x + C | sec x tan x dx = sec x + C | csc2 x dx = -cot x + C |
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(1-x2)| senh x dx = cosh x + C | cosh x dx = senh x + C | tanh x dx = ln( cosh x ) + C |
| csch x dx = ln( tanh(x/2) ) + C | sech x dx = atan( senh x ) + C | coth(x) dx = ln( senh x ) + C |
http://math2.org/math/integrals/es-tableof.htm
Ficha bibliográfica:
David Manura. (1995-2003). Tablas Matemáticas de David: Tabla de Integrales. 22 Nov. 2015, de math2.org Sitio web: http://math2.org/math/integrals/es-tableof.htm
2.3.4 Integral de en
Ejemplo principal Una bomba está entregando agua a un tanque a una razón de
r(t) = 3t2 + 5 litros/minuto
donde t es el tiempo en minutos desde el momento que la bomba es encendido. ¿Quánto agua es bombeado en el tanque durante los primeros dos minutos?
Primero estimación: r(t) es el número de litros de agua por minuto bombeado en el tanque. En el momento que es encendido la bomba, esta razón es
r(0) = 3(0)2 + 5 = 5 litros/minuto,
así que el volumen total de agua bombeado en el tanque durante los primeros dos minutos debe ser aproximadamente:
Volumen total bombeado = Número de litros/minuto × Número de minutos
≈ r(0) × 2
= 5 × 2 = 10 litros.
Aquí está una gráfica que muestra la curva y la calculación acabamos de hacer
Toma en cuenta dos hechos:
La cantidad estimada de agua bombeada en el tanque es igual a la área del rectángulo rojo.
Hemos signíficamente subestimado el volumen de agua bombeado en el tanque porque, como muestra la gráfica, la razón a la que está entrando agua sube a medida que pasa el tiempo; por ejemplo, la razón es de
r(1) = 3(1)2 + 5 = 8 litros/minuto
Sin embargo, usamos en cambio la razón inicial, r(0) = 5 litros/minuto, como la razón durante el periodo entero [0, 2].
Por lo tanto, vamos a estimar de nuevo la cantidad de agua a través de una calculación minuto-por-minuto, usando la razón de cambio al inicio de cada minuto para la duración de aquel minuto:
Minuto 1: Volumen total bombeado = Número de litros/minuto al inicio de minuto 1 × Número de minutos
≈ r(0) × 1
= 5 × 1 = 5 litros
Minuto 2: Volumen total bombeado = Número de litros/minuto al inicio de minuto 2 × Número de minutos
Ficha bibliográfica:
Stefan Waner. (2012). la integral. 22 Nov. 2015, de zweigmedia Sitio web: http://www.zweigmedia.com/MundoReal/tutorials4/framesIntegralGraphical.html
2.3.5 Integral de una constante por una función de x.
Integrar es el proceso recíproco del de derivar, es decir, dada una función f(x), busca aquellas funciones F(x) que al ser derivadas conducen a f(x).
Se dice, entonces, que F(x) es una primitiva o antiderivada de f(x); dicho de otro modo las primitivas de f(x) son las funciones derivables F(x) tales que:
F'(x) = f(x).
Si una función f(x) tiene primitiva, tiene infinitas primitivas, diferenciándose todas ellas en una constante.
[F(x) + C]' = F'(x) + 0 = F'(x) = f(x)
Integral indefinida
Integral indefinida es el conjunto de las infinitas primitivas que puede tener una función.
Se representa por ∫ f(x) dx.
Se lee : integral de f de x diferencial de x.
∫ es el signo de integración.
f(x) es el integrando o función a integrar.
dx es diferencial de x, e indica cuál es la variable de la función que se integra.
C es la constante de integración y puede tomar cualquier valor numérico real.
Si F(x) es una primitiva de f(x) se tiene que:
∫ f(x) dx = F(x) + C
Para comprobar que la primitiva de una función es correcta basta con derivar.
Propiedades de la integral indefinida
1. La integral de una suma de funciones es igual a la suma de las integrales de esas funciones.
∫[f(x) + g(x)] dx =∫ f(x) dx +∫ g(x) dx
2. La integral del producto de una constante por una función es igual a la constante por la integral de la función.
∫ k f(x) dx = k ∫f(x) dx
http://www.vitutor.com/integrales/indefinidas/integral_indefinida.html
Ficha bibliográfica:
math2me. (2012). Integral de una constante. 22 Nov. 2015, de math2me Sitio web: https://www.youtube.com/watch?v=Mmy6zolldfw
2.3.6 Integral de una suma (diferencia) de funciones.
(a) Reglas de sumas y diferencias
 | [f(x) ± g(x)] dx | = | | f(x) dx | ± | | g(x) dx |
Reglas de sumas y diferencias
En palabras:
La integral de la suma de dos funciones es la suma de las integrales de las funciones individuales, y la integral de la diferencia de dos funciones es la diferencia de las integrales de las funciones individuales.
(b) Regla de múltiples constantes
| k f(x) dx | = | k | | f(x) dx | (k constant) |
Para tomar la integral de una constante multiplicada por una función, se toma la integral de la función sola, y después se multiplica la respuesta por la constante. (En otras palabras el constante "sigue para el paseo" )
¿Por qué son válidas estas reglas? Porque la derivada de una sum es la suma de las derivadas, y el caso es parecido para diferencias y múltiplos constantes.
http://webcache.googleusercontent.com/search?q=cache:V0Wah9Wwys0J:www.zweigmedia.com/MundoReal/Calcsumm6.html+&cd=1&hl=es&ct=clnk&gl=mx&client=firefox-a
Ficha bibliográfica:
Stefan Waner. (2007). La integral. 22 de Nov. 2015, de zweigmedia Sitio web: http://webcache.googleusercontent.com/search?q=cache:V0Wah9Wwys0J:www.zweigmedia.com/MundoReal/Calcsumm6.html+&cd=1&hl=es&ct=clnk&gl=mx&client=firefox-a
Ficha bibliográfica:
math2me. (2012). Integral de la suma o resta de funciones. 22 Nov. 2015, de math2me Sitio web: https://www.youtube.com/watch?v=yn_hFO6W6Jk
2.3.7 Regla de la potencia.
Regla de Potencias
La derivada de una potencia o función potencial, es igual al exponente por la base elevada al exponente menos uno y por la derivada de la base.
Con base a la regla de potencias te presentamos un video explicativo sobre el tema y algunos ejemplos que te pueden ayudar para el desarrollo de tu aprendizaje:
Ficha bibliográfica:
Derivadas en Calculo. (2011). Regla de Potencias. 22 Nov. 2015, de Derivadas en Calculo Sitio web: https://www.youtube.com/watch?v=kKAwT1dzI30
2.3.7.1 Integrales que incluyen un
lasmatesyyo. (2013). Derivada de u a la n. 22 de Nov. 2015, de lasmatesyyo Sitio web: https://www.youtube.com/watch?v=DKdOtd72vW8
2.3.7.2 Integrales que incluyen funciones exponenciales.
Método y ejemplos de como encontrar la integral indefinida de la función exponencial cuando se encuentra multiplicada por la derivada del exponente
Dicha integral es igual a la función exponencial dividida por el logaritmo natural de la base de dicha función exponencial
En el vídeo se muestran ejemplos de distinta índole de complejidad ya que no siempre es posible vislumbrar que nos encontramos frente a este tipo de integral (denominada por algunos como una integral inmediata)
A lo largo de nuestra serie de vídeos de cálculo integral hemos venido hablando de diversas técnicas para hallar la primitiva de una función. Básicamente se han explorado dos fórmulas potentes que nos servían para encontrar la integral de una función a la n por su derivada, y cuando queremos encontrar la integral de l derivada sobre la función. Estas tienen unos casos particulares, y vimos mediante cambio de variable cómo podemos simplificar algunas funciones para llevarlas a los casos anteriormente mencionados. De ahora en adelante vamos a llamar estos tipos de integrales como integrales de tipo potencial o integrales de tipo logarítmica, respectivamente. Este par de integrales se denominan comúnmente como integrales inmediatas, ya que nacen en realidad de las derivadas.
En este vídeo vamos a hablar de un nuevo tipo de integral conocido como exponencial, y se deduce entonces de la fórmula de la derivada de un “a” a la f(x), una fórmula nueva para encontrar primitivas. Podemos decir entonces que cuando tengamos que encontrar la integral de una función exponencial por la derivada de su exponente, vamos a decir que es igual a tener la exponencial dividida por el logaritmo natural de la base de dicha función. El ejemplo más simple y útil de recordar, es la de la integral de e a la x, que es igual a tener e a la x más c. De allí podemos deducir entonces que cuando tengamos que hallar la integral de e a la f(x), es igual a tener e a la f(x)+C. En el video se desarrollan algunos ejemplos para mostrar cómo hallar entonces este tipo de integrales de manera rápida, identificando quien es f(x) y f’(x). No en todos los casos vamos a encontrarnos con la derivada tal cual, sino algo similar, y mediante una serie de “artilugios” podemos llegar a la integral, incluso utilizando la sustitución.
https://aula.tareasplus.com/Roberto-Cuartas/CALCULO-INTEGRAL/Integral-de-la-funcion-exponencial
Ficha bibliográfica:
Roberto Cuartas . (2014). Integral de la función exponencial. 22 de Nov. 2015, de tareasplus Sitio web: https://aula.tareasplus.com/Roberto-Cuartas/CALCULO-INTEGRAL/Integral-de-la-funcion-exponencial
Ficha bibliográfica:
Tareasplus. (2012). Integral de la función exponencial. 22 de Nov. 2015, de Tareasplus Sitio web: https://www.youtube.com/watch?v=NXtNSiUXSfI
2.3.8 Integrales que incluyen funciones logarítmicas.
Integrales logaritmicas
Integrales exponenciales
2.3.9 Integrales que incluyen (1/u)du
.Ficha bibliográfica:
lasmatesyyo. (2013). Integrales de la forma du/u. 22 de Nov. 2015, de lasmatesyyo Sitio web: https://www.youtube.com/watch?v=9xS3kKGU2-A
2.3.10 Integrales incluyen au
ARYA, J. C. (2009). Matemáticas aplicadas a la administración. México: Pearson Educacíon.
2.3.11 Integral por partes.
Integración por partes es un análogo de la regla del producto para derivadas, aunque su fórmula es un pocito más complicada. Aunque, cuando haces integración por partes a través del método tabular mostramos aquí no necesitarás ningunas fórmulas, y el método es tan simple que, al terminar este tutorial, te preguntarás por qué todos los demás tienen ¡tantos problemas con este tema!
P Por lo que he escuchado, el método tabular solo se aplica a tipos específicos de problemas integración por partes. ¿És verdad?
R No es verdad. El método tabular como lo presentamos aquí se aplica a cada tipo de problema integración por partes, y por lo tanto nunca tendrás que saber el método tradicional anticuado hacerlo que da tanta dificultad a tus amigos.
Primero, un poco de notación: Si u es una función, denotar si derivada por D(u) y un antiderivada por I(u). Así, por ejemplo, si u = 2x2, entonces
D(u) = 4x, y I(u) =
2x3
3
.
(Si prefiriéramos, podríamos tomar I(u) =
2x3
3
+ 46, pero usualmente optamos par la antiderivada más simple).
Integración por partes
Si u y v son funciones continuas de x, y si u tiene una derivada continua, entonces
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Ejemplos
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Forma de tabla:
Escribe las funciones originales en el primero renglón. Luego, en el siguiente renglón, sigue las instrucciones el la parte superior de la tabla: D significa "toma la derivada" y I significa "toma la integral"
Para conseguir la formula de la tabla, sigue las flechas en cada renglón de la tabla: (+) x ex −  (1) ex dv, la misma calculación que la de la fórmula. http://www.zweigmedia.com/tuts/tutIntParts.html?lang=es Ficha bibliográfica: Stefan Waner. (2013).Integración por partes . 22 de Nov. 2015, de zweigmedia Sitio web: http://www.zweigmedia.com/tuts/tutIntParts.html?lang=es |
DETERMINACIÓN DE FUNCIONES DE COSTO:
Servir de base para fijar precios de venta y para establecer políticas de comercialización.
Facilitar la toma de decisiones.
Permitir la valuación de inventarios.
Controlar la eficiencia de las operaciones
UTILIDADES:
Utilidad es la propiedad por la cual una cosa o acción adquiere la condición de valor útil para satisfacer las necesidades humanas. Puede hacer referencia a los siguientes términos:
En economía: utilidad (economía) a la función de utilidad, cuya derivada es la utilidad marginal; a un criterio para encontrar el punto óptimo de eficiencia de Pareto, en el cual no es posible beneficiar a más elementos de un sistema sin perjudicar a otros; y a la subjetividad de la utilidad esperada; En filosofía: al utilitarismo, una teoría ética.
En informática: a una herramienta que sirve de soporte para la construcción y ejecución de programas;
En el derecho registral: al catálogo de montes de utilidad pública; al monte de utilidad pública;
En contabilidad también denominado beneficio, es la diferencia entre los ingresos obtenidos por un negocio y todos los gastos incurridos en la generación de dichos ingresos; véase beneficio económico
CONSUMO Y AHORRO A PARTIR DE SUS MARGINALES.
La propensión marginal al consumo mide el incremento que se produce en el consumo cuando la renta crece en una unidad. Teniendo en cuenta que los crecimientos de la renta se destinan parcialmente a un mayor consumo y parcialmente a un mayor ahorro, la propensión marginal se sitúa entre cero y uno.
La función de consumo agregado puede escribirse de la siguiente forma:
C = a + c x Y
En esta expresión C representa el gasto de consumo, mientras que Y es la renta disponible. Cuando la renta disponible se incrementa, el gasto total de consumo crece en una proporción igual a c, que es la propensión marginal a consumir. El término a de la función de consumo se denomina consumo autónomo, y recoge aquel nivel mínimo de consumo que se realizaría aunque no se dispusiese de renta en un periodo.
Junto al concepto de propensión marginal a consumir se define el concepto de propensión media al consumo, o cociente entre el gasto total en consumo y la renta disponible. Una propiedad de esta función de consumo es que, aunque decreciente, esta propensión media es mayor que la propensión marginal:
C / Y = a/Y + c
La propensión marginal al ahorro (s) es igual a 1-c, ya que las familias destinan al ahorro (S) los incrementos de renta que no destinan al consumo.
Y = C + S
ΔY = ΔC + ΔS
1 = ΔC/ΔY + ΔS/ΔY
1 = c + s
http://www.expansion.com/diccionario-economico/propension-marginal-al-consumo-ahorro.html
Ficha bibliográfica:
Uxó González, Jorge. (2015). PROPENSIÓN MARGINAL AL CONSUMO/AHORRO. 29 Nov. 2015, de expansión Sitio web: http://www.expansion.com/diccionario-economico/propension-marginal-al-consumo-ahorro.html
Resumen:
En este modulo, vimos los temas de las antiderivadas, y nos introducimos también a las integrales y sus diferentes formas las cuales son: indefinida, indefinida de una constante, Integral de una constante por una variable, de la forma xn, de la forma en,Integral de una constante por una función de x,Integral de una suma (diferencia) de funciones, de la forma un,Integrales que incluyen funciones exponenciales,Integrales que incluyen funciones logarítmicas, de la forma (1/u)du, Integral por partes y la forma de aplicarlas para determinar costos.
Muy buen trabajo, el tema 1.4 donde mencionas el punto de equilibrio me parace de mucha utilidad, ya que si tienes una empresa debes tratar de obtener el punto de equilibrio, y proporcionas datos para saber como calcularlo.
ResponderEliminarA mi punto de vista tienes muy buena información la cual nos ayuda a resolver varios de los problemas que se nos presentan en la vida cotidiana. Muy buen trabajo.
ResponderEliminarMuy buen blog, la información es muy buena y aclara dudas con los videos que muestras
ResponderEliminarMuy buen trabajo, nos explicas muy bien los temas, con ejemplos muy claros.
ResponderEliminarjejeje Pepe, yo también puse algunos videos igual que tú en la segunda integral, pensamos parecido xD
ResponderEliminarEn concreto tu blog está muy completo, ya que cuenta con la información suficiente, así mismo explicando cada pasó de elaboración de dicho tema. Un tema a resaltar es de la unidad 2 con el nombre de integrales logarítmicas, en este, explicas por medio de videos haciendo más factible entender la elaboración de dicho procedimiento.
ResponderEliminarTu trabajo me parece muy completo, explicando cada tema y haciéndolo muy comprensible.
ResponderEliminarAdemás con los enlaces determinados de dónde investigaste me parecen de mucha confianza!
Muy buen blog, se comprende muy bien el tema y los videos muy claros se nota la dedicacion y el desempeño que expresastes en el.
ResponderEliminarPepe Chuy.
ResponderEliminarMuy buen blog, esta unidad está muy bien definida y explicada ya que a la hora de hablar de integrales, están muy bien los pasos que se deben de seguir ordenadamente para poder solucionar un problema de derivadas; además con los videos que pusiste de cada uno, te explica más concretamente como realizar las integrales pero de una manera fácil.
Muy buen trabajo Chuy.
Buen trabajo, cuando una persona se empeña en su trabajo se nota, en este caso porque tu información esta muy completa y clara, con ella queda más claro lo que vimos en las clases...
ResponderEliminarFelicidades PepeChuy(:
ResponderEliminarTus videos me gustaron mucho, ya que explican detalladamente y nos facilitan apoyo aclarandonos dudas.
muy buen trabajo chuy la verdad esta muy completo tu blog. la información es la adecuada.
ResponderEliminarMuy buen blog pepe chuy quien te viera con tan buen desempeño y dedicación, muy buena información la verdad muy completo y con excelentes ejemplos en tus videos.
ResponderEliminarChuy ! Me.encanto la informacion de tu blog de verdad que buen trabajo te felicito por los videos que puiste me ayudaron a entender muchisimobsobre los temas, y la informacion sin duda es de las mejores que e visto de verdad te felicito mucho !
ResponderEliminarFelicidades por tu blog tiene muy buena información y los videos ayudan mucho a la compresión de los temas.
ResponderEliminarPepe Chuy felicidades muy buen trabajo entendible y coherente felicidades
ResponderEliminarMuy buen blog, la información es muy clara, felicidades pepe chuy
ResponderEliminartu muy bien pepe chuy
ResponderEliminaresta muy bueno tu blog. excelente informacion!