Objetivo Particular del Periodo:
El alumno comprenderá el concepto de integral definida así como su
interpretación gráfica. Resolverá problemas de aplicación geométrica al mismo
tiempo que resolverá problemas del entorno económico-administrativo.
El alumno aplicará técnicas adicionales para la resolución de integrales
que presentan estructuras complejas asociadas con modelos y problemas del
entorno económico-administrativo.
El
alumno entenderá los conceptos elementales del álgebra lineal y los aplicará en
problemas del ámbito económico y de gestión de negocios.
3.1 Área bajo la curva.
Ficha bibliográfica:
Aziz Mulub Tieb . (1999). El área bajo una curva. 21 Nov. 2015, de centros 5 Sitio web: http://centros5.pntic.mec.es/ies.de.melilla/area_bajo_curva.htm
Llegamos ahora a la conexión que haya entre integración y derivación. La relación entre estos dos procesos es, de algún modo, análoga a la que hay entre 'elevar al cuadrado' y la 'raíz cuadrada'. Si elevamos al cuadrado un número positivo y después tomamos la raíz cuadrada del resultado, obtenemos el número original. De igual modo, si integramos una función continua obtenemos una nueva función (una integral indefinida de f) y si diferenciamos esta función obtenemos la función original.
Esta conexión entre diferenciación e integración es muy sorprendente. La integración está relacionada con la suma de muchos números pequeños (por ejemplo, cuando calculamos un área, la longitud de una curva, etc.) y la diferenciación es la tasa de variación instantánea (una interpretación gráfica de la derivada es la pendiente de la tangente a la curva). El Teorema Fundamental del Cálculo nos dice que estos dos conceptos están íntimamente relacionados.
Ya hemos visto varios ejemplos cuando diferenciamos e integramos funciones polinómicas pues ya vimos cierta relación.
Sabemos que si f es integrable, entonces F(x) [una integral indefinida] es continua. Nos podemos preguntar que ocurre cuando la función original f es continua. Resulta que F es diferenciable (y que su derivada es especialmente simple).
(EL PRIMER TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO) Sea f una función integrable en [a,b], y definimos una nueva función F en [a,b] por
Si c pertenece a [a,b] y f es continua en c, entonces F es diferenciable en c, y
Teorema Fundamental del Cálculo
Una demostración visual bien conocida asume que la función f es continua en un entorno del punto (esta es una condición más débil, la hipótesis del teorema es más fuerte. Para una demostración analítica más rigurosa de este teorema hay que leer un buen libro de Cálculo).
Si c es un punto de (a,b), mirando la imagen podemos aceptar que
http://www.matematicasvisuales.com/html/analisis/ftc/ftc1.html
Ficha bibliográfica:
David M.. (2011). Historical Reflections on Teaching the Fundamental Theorem of Calculus. 21 Nov. 2015, de matemáticas visuales Sitio web: http://www.matematicasvisuales.com/html/analisis/ftc/ftc1.html
Ficha bibliográfica:
Tareasplus. (2012). Integral definida y sus propiedades básicas. 21 Nov. 2015, de Tareasplus Sitio web: https://www.youtube.com/watch?v=L4K4JXMXJbI
3.4 Área entre una y dos curvas.
3.1 Área bajo la curva.
Enseguida, graficaremos una función en un intervalo [a,b] y se mostrará el área contenida entre su gráfica y el eje x en el intervalo dado. Observa la siguiente gráfica.
f(x)= x2 + 1
en el intervalo cerrado [1,5]
Igual que con el problema de la tangente, empezaremos por hacer aproximaciones. Aproximaremos el área bajo la curva con el área de ciertos rectángulos.
Observa las siguientes gráficas
Como pudiste ver en las gráficas anteriores, con los primeros rectángulos estamos sobreestimando el valor del área y con los segundos rectángulos la estamos subestimando.
A continuación calcularemos aproximaciones cada vez mejores, tomando cada vez más y más rectángulos.
Observa las siguientes animaciones
El valor exacto del área es:
136
| |||
Área =
|
aprox. igual
|
45.3333
| |
3
|
Los resultados anteriores parecen indicar que conforme el número n de rectángulos crece,(n--->
) , el valor del área de los rectángulos tanto por la izquierda como por la derecha se acercan a un mismo número. Vamos a cuantificar y a formalizar las ideas expuestas anteriormente.
) , el valor del área de los rectángulos tanto por la izquierda como por la derecha se acercan a un mismo número. Vamos a cuantificar y a formalizar las ideas expuestas anteriormente.Ficha bibliográfica:
Aziz Mulub Tieb . (1999). El área bajo una curva. 21 Nov. 2015, de centros 5 Sitio web: http://centros5.pntic.mec.es/ies.de.melilla/area_bajo_curva.htm
Ficha bibliográfica:
Matefis. (2013). Área bajo la curva I (integral definida). 21 Nov. 2015, de Matefis Sitio web: https://www.youtube.com/watch?v=yc4ERt8aiQA
3.2 Teorema Fundamental del cálculo.
Llegamos ahora a la conexión que haya entre integración y derivación. La relación entre estos dos procesos es, de algún modo, análoga a la que hay entre 'elevar al cuadrado' y la 'raíz cuadrada'. Si elevamos al cuadrado un número positivo y después tomamos la raíz cuadrada del resultado, obtenemos el número original. De igual modo, si integramos una función continua obtenemos una nueva función (una integral indefinida de f) y si diferenciamos esta función obtenemos la función original.
Esta conexión entre diferenciación e integración es muy sorprendente. La integración está relacionada con la suma de muchos números pequeños (por ejemplo, cuando calculamos un área, la longitud de una curva, etc.) y la diferenciación es la tasa de variación instantánea (una interpretación gráfica de la derivada es la pendiente de la tangente a la curva). El Teorema Fundamental del Cálculo nos dice que estos dos conceptos están íntimamente relacionados.
Ya hemos visto varios ejemplos cuando diferenciamos e integramos funciones polinómicas pues ya vimos cierta relación.
Sabemos que si f es integrable, entonces F(x) [una integral indefinida] es continua. Nos podemos preguntar que ocurre cuando la función original f es continua. Resulta que F es diferenciable (y que su derivada es especialmente simple).
(EL PRIMER TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO) Sea f una función integrable en [a,b], y definimos una nueva función F en [a,b] por
Si c pertenece a [a,b] y f es continua en c, entonces F es diferenciable en c, y
Teorema Fundamental del Cálculo
Una demostración visual bien conocida asume que la función f es continua en un entorno del punto (esta es una condición más débil, la hipótesis del teorema es más fuerte. Para una demostración analítica más rigurosa de este teorema hay que leer un buen libro de Cálculo).
Si c es un punto de (a,b), mirando la imagen podemos aceptar que
http://www.matematicasvisuales.com/html/analisis/ftc/ftc1.html
Ficha bibliográfica:
David M.. (2011). Historical Reflections on Teaching the Fundamental Theorem of Calculus. 21 Nov. 2015, de matemáticas visuales Sitio web: http://www.matematicasvisuales.com/html/analisis/ftc/ftc1.html
Ficha bibliográfica:
julioprofe. (2012). Teorema Fundamental del Cálculo. 21 Nov. 2015, de julioprofe Sitio web: https://www.youtube.com/watch?v=SCKpUCax5ss
3.3 Propiedades de la integral definida.
julioprofe. (2012). Teorema Fundamental del Cálculo. 21 Nov. 2015, de julioprofe Sitio web: https://www.youtube.com/watch?v=SCKpUCax5ss
3.3 Propiedades de la integral definida.
Propiedades básicas de la integral definida
Se muestra que una integral definida en un mismo valor (límite superior igual al inferior) es cero, que la integral definida de la función constante es ese valor por la diferencia de los límites de la integral, que la integral se puede particionar, que es distributiva con respecto a la suma y que la integral de una función por una contaste es la constante por la integral de dicha función
En este vídeo se explica qué es la integral definida y cuáles son sus propiedades. Habíamos dicho en vídeos anteriores que la integral definida era una forma de resumir el límite que equivale al área bajo una curva en el intervalo a, b. Asumiendo que todas las imágenes de la función son positivas entre a, b. Se escoge la notación de integral definida para simbolizar suma entre a y b, de la función por el dx. La notación lo que nos dice es que sumemos los productos en el intervalo entre a y b. Se tiende a decir que una integral definida es un área, y esto no es del todo cierto, ya que una integral definida es en realidad una suma de áreas. Cuando nos encontremos con un área negativa, lo que hacemos es tomar valor absoluto. Recordemos que debemos observar bien al hallar integrales, cuándo los valores de la función se hacen negativos.
Entendiendo entonces que la integral es una suma de áreas, vamos a hablar de sus propiedades. La primer propiedad que vemos es que la integral definida entre a y a (es decir límites del intervalo iguales), de una función, es igual a cero. La segunda propiedad explicada es la de la partición, que consiste en decir que podemos particionar el intervalo y hallar la integral para cada intervalo, y el resultado es igual que si calculáramos directamente la integral para el intervalo total. La siguiente propiedad consiste en que si nos piden una integral de una función entre a y b (donde a es mayor que b), el resultado sería igual a tener la integral con signo negativo entre b y a. La siguiente propiedad nos dice que la integral de una función constante entre a y b, es igual a la constante multiplicada por la diferencia de b menos a.
Otra propiedad importante es la que nos dice que si tenemos que calcular una integral de la suma de varias funciones, es igual a tener la suma de la integral de cada función. La última propiedad explicada en este vídeo dice que cuando tengamos una integral definida de una constante por una función, sería igual a tener la constante multiplicando la integral de la función. Con estas propiedades podremos manipular bien la notación de la integral definida. Finalmente se explica un ejemplo que demuestra que es más sencillo calcular la integral, no utilizando el límite de la sumatoria, sino reescribiéndolo con la notación de la integral definida.
https://aula.tareasplus.com/Roberto-Cuartas/CALCULO-INTEGRAL/Integral-definida-y-sus-propiedades-basicas
Ficha bibliográfica es :
Roberto Cuartas . (2014). Propiedades básicas de la integral definida. 21 Nov. 2015, de tareas plus Sitio web: https://aula.tareasplus.com/Roberto-Cuartas/CALCULO-INTEGRAL/Integral-definida-y-sus-propiedades-basicas
http://www.vitutor.com/integrales/definidas/integral_definida.htmlSe muestra que una integral definida en un mismo valor (límite superior igual al inferior) es cero, que la integral definida de la función constante es ese valor por la diferencia de los límites de la integral, que la integral se puede particionar, que es distributiva con respecto a la suma y que la integral de una función por una contaste es la constante por la integral de dicha función
En este vídeo se explica qué es la integral definida y cuáles son sus propiedades. Habíamos dicho en vídeos anteriores que la integral definida era una forma de resumir el límite que equivale al área bajo una curva en el intervalo a, b. Asumiendo que todas las imágenes de la función son positivas entre a, b. Se escoge la notación de integral definida para simbolizar suma entre a y b, de la función por el dx. La notación lo que nos dice es que sumemos los productos en el intervalo entre a y b. Se tiende a decir que una integral definida es un área, y esto no es del todo cierto, ya que una integral definida es en realidad una suma de áreas. Cuando nos encontremos con un área negativa, lo que hacemos es tomar valor absoluto. Recordemos que debemos observar bien al hallar integrales, cuándo los valores de la función se hacen negativos.
Entendiendo entonces que la integral es una suma de áreas, vamos a hablar de sus propiedades. La primer propiedad que vemos es que la integral definida entre a y a (es decir límites del intervalo iguales), de una función, es igual a cero. La segunda propiedad explicada es la de la partición, que consiste en decir que podemos particionar el intervalo y hallar la integral para cada intervalo, y el resultado es igual que si calculáramos directamente la integral para el intervalo total. La siguiente propiedad consiste en que si nos piden una integral de una función entre a y b (donde a es mayor que b), el resultado sería igual a tener la integral con signo negativo entre b y a. La siguiente propiedad nos dice que la integral de una función constante entre a y b, es igual a la constante multiplicada por la diferencia de b menos a.
Otra propiedad importante es la que nos dice que si tenemos que calcular una integral de la suma de varias funciones, es igual a tener la suma de la integral de cada función. La última propiedad explicada en este vídeo dice que cuando tengamos una integral definida de una constante por una función, sería igual a tener la constante multiplicando la integral de la función. Con estas propiedades podremos manipular bien la notación de la integral definida. Finalmente se explica un ejemplo que demuestra que es más sencillo calcular la integral, no utilizando el límite de la sumatoria, sino reescribiéndolo con la notación de la integral definida.
https://aula.tareasplus.com/Roberto-Cuartas/CALCULO-INTEGRAL/Integral-definida-y-sus-propiedades-basicas
Ficha bibliográfica es :
Roberto Cuartas . (2014). Propiedades básicas de la integral definida. 21 Nov. 2015, de tareas plus Sitio web: https://aula.tareasplus.com/Roberto-Cuartas/CALCULO-INTEGRAL/Integral-definida-y-sus-propiedades-basicas
Ficha bibliográfica:
Tareasplus. (2012). Integral definida y sus propiedades básicas. 21 Nov. 2015, de Tareasplus Sitio web: https://www.youtube.com/watch?v=L4K4JXMXJbI
3.4 Área entre una y dos curvas.
En esta sección estudiaremos como calcular el área entre dos curvas.
El problema es el siguiente: Dadas dos funciones f y g , encontrar el área contenida entre sus gráficas en el intervalo [a,b] .
Para ilustrar el problema y el procedimiento, observa el siguiente ejemplo
Utilizaremos el mismo procedimiento que se usó para encontrar el área bajo una curva. Se aproximará el área entre las dos curvas haciendo una partición del intervalo [a,b] en n subintervalos de longitud (b-a)/n. En cada subintervalo escogemos un valor particular de x, al que llamaremos x*
1. Evaluamos f(x*) y g(x*) y formamos rectángulos de base (b-a)/n y de altura f(x*)-g(x*) (si f(x*)>g(x*)).
2. El área de dicho rectángulo es (f(x*)-g(x*))((b-a)/n). Al sumar las áreas de los rectángulos obtenemos una aproximación al valor del área entre las curvas.
3. Tomando el límite cuando n--->Infinito obtendremos el valor exacto del área buscada.
4. Por definición, el límite de la sumatoria de Riemann es la integral definida de f(x)-g(x) en [a,b].
5.Si g(x)>f(x) en alguna parte del intervalo, entonces la altura de los rectángulos es g(x*)-f(x*)
En cualquier caso la altura de los rectángulos es |f-g| (valor absoluto de la diferencia)
Definición de área entre dos gráficas:
El área entre las gráficas de y=f(x) , y=g(x) en el intervalo [a,b] está dado por el valor de la Integral Definida de |f-g| en [a,b].
Enseguida se calculará el área de la región entre dos curvas.
Observa que en el intervalo [-1,3] no se cumple que la curva "de arriba" sea la misma. En [-1,2] la curva de arriba es y=x-1 , mientras que en [2,3] la curva de arriba es y=(3-x)1/2
En la gráfica anterior dibujamos un rectángulo horizontal de base X2 - X1 y de altura Delta.gif (151 bytes)y.
X2 es elvalor de x dado por la curva de la derecha (x=3-y2) y X1 es el valor de x dado por la curva de la izquierda (x=y+1). En esta situación la curva de la derecha siempre es la misma y la curva de la izquierda también es la misma para todos los rectángulos horizontales desde y=-2 hasta y=1.
Integral.gif (265 bytes) y=1
Entonces el área entre las curvas es igual a
Ficha bibliográfica:
ibelloj. (2011). Área entre dos curvas. 21 Nov. 2015, de ibelloj Sitio web: https://www.youtube.com/watch?v=ljWj8QgQAa4
3.5 Aplicaciones: Excedente del consumidor y del productor, valor presente y valor futuro.
Podemos definir el excedente del consumidor como la diferencia entre el precio máximo que estaría dispuesto a pagar y el precio que realmente paga. Consideremos la siguiente curva de demanda de un individuo, si el precio de mercado es pE demandara qE. No obstante, por la primera unidad hubiera estado dispuesto a pagar mucho más p1 , por la segunda unidad algo menos que por la primera pero más de lo que realmente paga, y así sucesivamente hasta la cantidad qE en donde coincide el precio que paga y el que está dispuesto a pagar. Gráficamente, la zona que muestra la divergencia entre la disposición marginal a pagar y el precio satisfecho reflejaría el excedente del consumidor.
Para estimar el excedente del productor deberemos de partir de la función de oferta. Dado un precio en el mercado pE, compararemos el precio al que estarían dispuesto a ofrecer cada unidad de mercancía con el precio que realmente perciben. Y observaremos que hasta qE el empresario por cada unidad ofrecida recibe un precio superior al que estaría dispuesto a percibir. Dicha zona delimita gráficamente el excedente del productor.
http://www.economiavisual.com/html/Intro/Excedente%20del%20consumidor%20y%20productor.htm
Ficha bibliográfica es :
Juan Cantero Fernández. (2000). Excedente del consumidor y del productor. 21 Nov. 2015, de economía visual Sitio web: http://www.economiavisual.com/html/Intro/Excedente%20del%20consumidor%20y%20productor.htm
Resumen:
En este modulo apreciamos las propiedades teóricas de las integrales y como en su aplicacion influyen en las áreas de las curvas.
El problema es el siguiente: Dadas dos funciones f y g , encontrar el área contenida entre sus gráficas en el intervalo [a,b] .
Para ilustrar el problema y el procedimiento, observa el siguiente ejemplo
Utilizaremos el mismo procedimiento que se usó para encontrar el área bajo una curva. Se aproximará el área entre las dos curvas haciendo una partición del intervalo [a,b] en n subintervalos de longitud (b-a)/n. En cada subintervalo escogemos un valor particular de x, al que llamaremos x*
1. Evaluamos f(x*) y g(x*) y formamos rectángulos de base (b-a)/n y de altura f(x*)-g(x*) (si f(x*)>g(x*)).
2. El área de dicho rectángulo es (f(x*)-g(x*))((b-a)/n). Al sumar las áreas de los rectángulos obtenemos una aproximación al valor del área entre las curvas.
3. Tomando el límite cuando n--->Infinito obtendremos el valor exacto del área buscada.
4. Por definición, el límite de la sumatoria de Riemann es la integral definida de f(x)-g(x) en [a,b].
5.Si g(x)>f(x) en alguna parte del intervalo, entonces la altura de los rectángulos es g(x*)-f(x*)
En cualquier caso la altura de los rectángulos es |f-g| (valor absoluto de la diferencia)
Definición de área entre dos gráficas:
El área entre las gráficas de y=f(x) , y=g(x) en el intervalo [a,b] está dado por el valor de la Integral Definida de |f-g| en [a,b].
Enseguida se calculará el área de la región entre dos curvas.
| Dentro del intervalo (-2,2), las curvas: y=2(1-x2) y y=x2-1 se intersectan en x = -1, 1. f(x)=2(1 - x2) ; g(x)=x2-1 El área entre las curvas en cada subintervalo es: {4, 4, 4}Cada una de estas áreas tiene que ser calculada por separado. El área total entre las curvas es: 4 + 4 + 4 = 12 |  |
| Dentro del intervalo (-1,1.5), las curvas: y = -x2/3+1 y y = x2/3 se intersectan en x = 1. f(x)= -x2/3+1 ; g(x)=x2/3-1El área entre las curvas en cada subintervalo es: {1.6, 0.15867} Cada una de estas áreas tiene que ser calculada por separado. El área total entre las curvas es:1.6 + 0.15867 = 1.75867 |  |
Otros métodos: Rectángulos horizontales.
El procedimiento anterior depende de que, en cada intervalo de integración, la curva "de arriba" es la misma y la curva "de abajo" también. A continuación se muestra una situación en donde esto no se cumple. Observa las siguientes gráficas
X2 es elvalor de x dado por la curva de la derecha (x=3-y2) y X1 es el valor de x dado por la curva de la izquierda (x=y+1). En esta situación la curva de la derecha siempre es la misma y la curva de la izquierda también es la misma para todos los rectángulos horizontales desde y=-2 hasta y=1.
Integral.gif (265 bytes) y=1
Entonces el área entre las curvas es igual a
 | y=1 | ||
| [3 - y2 - (y+1)] dy | |||
| y=-2 |
Si integramos con respecto a "y" la diferencia (3-y2) - (y+1) entre y=-2 hasta y=1, entonces encontramos que:
9
| |
Area entre las curvas =
| |
2
|
http://centros5.pntic.mec.es/ies.de.melilla/area_entre_dosC.htm
Ficha bibliográfica:
Aziz Mulub Tieb. (1999). El área entre dos curvas. 21 Nov. 2015, de Centros 5 Sitio web: http://centros5.pntic.mec.es/ies.de.melilla/area_entre_dosC.htm
Ficha bibliográfica:
Aziz Mulub Tieb. (1999). El área entre dos curvas. 21 Nov. 2015, de Centros 5 Sitio web: http://centros5.pntic.mec.es/ies.de.melilla/area_entre_dosC.htm
Ficha bibliográfica:
ibelloj. (2011). Área entre dos curvas. 21 Nov. 2015, de ibelloj Sitio web: https://www.youtube.com/watch?v=ljWj8QgQAa4
3.5 Aplicaciones: Excedente del consumidor y del productor, valor presente y valor futuro.
Podemos definir el excedente del consumidor como la diferencia entre el precio máximo que estaría dispuesto a pagar y el precio que realmente paga. Consideremos la siguiente curva de demanda de un individuo, si el precio de mercado es pE demandara qE. No obstante, por la primera unidad hubiera estado dispuesto a pagar mucho más p1 , por la segunda unidad algo menos que por la primera pero más de lo que realmente paga, y así sucesivamente hasta la cantidad qE en donde coincide el precio que paga y el que está dispuesto a pagar. Gráficamente, la zona que muestra la divergencia entre la disposición marginal a pagar y el precio satisfecho reflejaría el excedente del consumidor.
Para estimar el excedente del productor deberemos de partir de la función de oferta. Dado un precio en el mercado pE, compararemos el precio al que estarían dispuesto a ofrecer cada unidad de mercancía con el precio que realmente perciben. Y observaremos que hasta qE el empresario por cada unidad ofrecida recibe un precio superior al que estaría dispuesto a percibir. Dicha zona delimita gráficamente el excedente del productor.
http://www.economiavisual.com/html/Intro/Excedente%20del%20consumidor%20y%20productor.htm
Ficha bibliográfica es :
Juan Cantero Fernández. (2000). Excedente del consumidor y del productor. 21 Nov. 2015, de economía visual Sitio web: http://www.economiavisual.com/html/Intro/Excedente%20del%20consumidor%20y%20productor.htm
Resumen:
En este modulo apreciamos las propiedades teóricas de las integrales y como en su aplicacion influyen en las áreas de las curvas.
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