MODULO 1. Introducción al cálculo en dos variables.

Objetivo Particular del Periodo:

El alumno comprenderá los conceptos básicos del cálculo diferencial en varias variables, así como la resolución de problemas en el entorno económico-administrativo, enfatizando aquellos del área de optimización de recursos. 

1.1 Funciones en dos variables.

Una función de dos variables es una regla de correspondencia que asigna a cada pareja de números reales (x, y) un y sólo un número real z.

El conjunto de parejas ordenadas para las cuales la regla de correspondencia dá un número real se llama dominio de la función. El conjunto de valores z que corresponden a los pares ordenados se llama imagen o contradominio.

Una función de dos variables se denota usualmente con la notación

z = f (x, y)

Las variables x, y se llaman variables independientes, y z se llama variable dependiente.

La gráfica de una función de dos variables es el conjunto de puntos con coordenadas (x, y, z) en donde (x, y) está en el dominio de f y z = f (x, y).

Este conjunto de puntos forma una superficie en el espacio tridimensional.

En consecuencia, la gráfica de una función f de dos variables es una superficie que consta de todos los puntos del espacio tridimensional cuyas coordenadas cartesianas están determinadas por las ternas ordenadas de números reales (x, y, z). Como el dominio de f es un conjunto de puntos del plano x, y, y puesto que cada par ordenado (x, y) del dominio de f corresponde a solo un valor de z, ninguna recta perpendicular al plano x,y puede intersectar a la gráfica de f en mas de un punto.

La función f del ejemplo 1 es el conjunto de todos los pares ordenados de la forma (P, z) tales que

 z=v25- x2 -y2

Por tanto, la grafica de f es la semiesfera en el plano x y por arriba de este cuyo centro es el origen y tiene radio 5. Esta semiesfera se muestra en la figura 1.

Ejemplo 2: dibuje la gráfica de la función

Sol/: la gráfica de f es la superficie que tiene la ecuación z=x2 +y2 . La traza de la superficie en el plano x,y se obtiene al utilizar la ecuación z=0 simultáneamente con la ecuación de la superficie. Al hacerlo resulta x2 +y2=0 la cual representa el origen. Las trazas en los planos xz y yz se obtiene al emplear las ecuaciones z=x2 +y2. Estos trazos son las parábolas z= x2 y z= y2.

 http://www.monografias.com/trabajos78/funciones-dominio-rango-curva-nivel/funciones-dominio-rango-curva-nivel.shtml#ixzz3rhfv8i3v



Ficha bibliográfica: 

Marlon Fajardo Molinares. (2009). Funciones de dos y más variables, dominio y rango, y curva de nivel.. 21 Nov. 2015, de Monografias.com S.A Sitio web: http://www.monografias.com/trabajos78/funciones-dominio-rango-curva-nivel/funciones-dominio-rango-curva-nivel.shtml#ixzz3rhfv8i3v

Ficha bibliográfica: 

Academatica. (2013). Video de funciones de dos variables - introducción. 21 Nov. 2015, de Academatica Sitio web: https://www.youtube.com/watch?v=9FpkWkqCDV0


1.2 Derivadas parciales.

Se llama derivada parcial de una función con respecto a la variable independiente al siguiente límite, si existe y es finito:






calculado suponiendo y constante.

Se llama derivada parcial de una función con respecto a la variable independiente al siguiente límite, si existe y es finito:




calculado suponiendo x constante.

Para calcular las derivadas parciales son válidas las reglas y fórmulas de derivación ordinarias. Basta considerar que todas las variables son constantes (son números), salvo aquella respecto de la que estamos derivando.


http://www.matap.uma.es/~svera/probres/pr3/pr3_1.html#derivadas


Ficha bibliográfica: 
Salvador Vera . (2000). Cálculo para la Ingeniería. 21 de noviembre de 2015, de satd Sitio web: http://www.matap.uma.es/~svera/probres/pr3/pr3_1.html#derivadas

 Ficha bibliográfica: 

Academatica. (2010). Derivadas Parciales . 21 Nov. 2015, de Academatica Sitio web: https://www.youtube.com/watch?v=bKGCity6dr8

1.3 Máximos y mínimos de funciones de dos variables.


Definición. Una función   tiene un máximo (mínimo) en un punto  si el valor de la función en este punto es mayor (menor) que su valor en cualquier otro punto X(x,y) de algún entono de P.

Condiciones necesarias de extremo. Si una función diferenciable  alcanza un extremo en el punto  entonces sus derivadas parciales de primer orden en este punto son iguales a cero, o sea:

;

Los puntos en los que las derivadas parciales son iguales a cero se llaman puntos críticos o estacionarios. No todo punto crítico es un punto extremo.

Condiciones suficientes para la existencia de extremos.

(a) Caso de dos variables. Sea  un punto crítico de una función   con las derivadas parciales de segundo orden continuas en P, y sea  el determinante de su matriz hessiana, entonces:


Es decir, si el hessiano es positivo hay extremo (el tipo nos lo da  , si es negativa máximo y si es positiva mínimo). Si el hessiano es negativo no hay extremo. Y si el hessiano es cero hay duda (que habrá que resolver por otro método)

http://www.matap.uma.es/~svera/probres/pr3/pr3a3_1.html

 Ficha bibliográfica: 

Salvador Vera. (2000). Cálculo para la Ingeniería. 21 Nov. 2015, de satd Sitio web: http://www.matap.uma.es/~svera/probres/pr3/pr3a3_1.html

Ficha bibliográfica: 

Academatica. (2013). Máximos y mínimos funciones de dos variables. 21 Nov. 2015, de Academatica Sitio web: https://www.youtube.com/watch?v=dhhmhSAOEug

1.4 Aplicaciones: Optimización de funciones de dos variables que representen gastos, ingresos o utilidad.

El punto de equilibrio sirve para determinar el volumen mínimo de ventas que la empresa debe realizar para no perder, ni ganar.

En el punto de equilibrio de un negocio las ventas son iguales a los costos y los gastos, al aumentar el nivel de ventas se obtiene utilidad, y al bajar se produce pérdida.

Se deben clasificar los costos:

Costos fijos: Son los que causan en forma invariable con cualquier nivel de ventas.
Costos variables: Son los que se realizan proporcionalmente con el nivel de ventas de una empresa.


Ventas en punto de equilibrio = Costos Fijos x  
1
1 – Costos variables
Ventas
Ejemplo: En el año 200x, la empresa XYZ tuvo ingresos por concepto de ventas de $6.750.000, en el mismo periodo sus costos fijos fueron de $2.130.000 y los costos variables de $3.420.000

Ventas en punto de equilibrio = $2.130.000 x  
1
1 – $3.420.000
$6.750.000
Ventas en punto de equilibrio  =  $4.346.938

El nivel de ventas para no ganar, ni perder es de $4.346.938, este es el punto de equilibrio para la empresa.

El costo fijo permanece invariable, independientemente del volumen de ventas, mientras que el costo variable está relacionado directamente con el volumen de ingresos o ventas.


El porcentaje del costo variable en el punto de equilibrio está dado por la relación existente entre los costos variables y el nivel de ventas, así:


Porcentaje de costo variable = Costo Variable x 100
Ventas
Porcentaje de costo variable = $3.420.000 x 100
$6.750.000
Los costos variables en el punto de equilibrio son $4.346.938  X  51%  =  $2.216.938

Comprobación del punto de equilibrio

Ventas 4.346.938
 (-) Costos variables 2.216.938
 = Utilidad Bruta en Ventas 2.130.000
 (-) Costos fijos 2.130.000
 = Utilidad neta 0
Aplicación del punto de equilibrio

En la práctica, el punto de equilibrio sirve para calcular el volumen de las ventas que debe realizar una empresa para obtener un porcentaje de utilidad determinado. La fórmula es la siguiente:

Ventas = Ventas en punto de equilibrio + Porcentaje de Utilidad deseado + % de Costo variable

Ejemplo: La XYZ empresa desea obtener una utilidad del 20% sobre el punto de equilibrio. Determinar el volumen de ventas necesario para obtener dicha utilidad. (Utilizando los datos de los ejemplos anteriores).


Ventas = Ventas en punto de equilibrio + Porcentaje de Utilidad deseado + % de Costo variable

Ventas = 4.346.938 + 20%(4.346.938) + 51%(4.346.938)

Ventas = 4.346.938 + 869.387 + 2.216.938

Ventas = 7.433.263

Aplicación

Ventas 7.433.263
 (-) Costos variables 3.790.964
 = Utilidad Bruta en Ventas 3.642.299
 (-) Costos fijos 2.130.000

 = Utilidad neta 1.512.299

http://www.gestiopolis.com/como-calcular-el-punto-de-equilibrio/

 Ficha bibliográfica: 

Gómez Giovanny. (2001). Cómo calcular el punto de equilibrio. 21 Nov. 2015, de gestiopolis Sitio web: http://www.gestiopolis.com/como-calcular-el-punto-de-equilibrio/

Resumen:
En este modulo volvimos a recordar el tema de las funciones, y nos introducimos a las derivadas y sus diferentes tipos y aplicaciones a la hora de representar gastos, ingresos y utilidades.